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Theorem cflm 8119
Description: Value of the cofinality function at a limit ordinal. Part of Definition of cofinality of [Enderton] p. 257. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cflm  |-  ( ( A  e.  B  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem cflm
Dummy variables  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
2 limsuc 4820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim 
A  ->  ( v  e.  A  <->  suc  v  e.  A
) )
32biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim 
A  ->  ( v  e.  A  ->  suc  v  e.  A ) )
4 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  suc  v  -> 
( z  C_  w  <->  suc  v  C_  w )
)
54rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  suc  v  -> 
( E. w  e.  y  z  C_  w  <->  E. w  e.  y  suc  v  C_  w )
)
65rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  v  e.  A  -> 
( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  E. w  e.  y  suc  v  C_  w
) )
7 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  v  e. 
_V
8 sucssel 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  _V  ->  ( suc  v  C_  w  -> 
v  e.  w ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc  v  C_  w  ->  v  e.  w )
109reximi 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. w  e.  y  suc  v  C_  w  ->  E. w  e.  y  v  e.  w )
11 eluni2 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  U. y  <->  E. w  e.  y  v  e.  w )
1210, 11sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. w  e.  y  suc  v  C_  w  ->  v  e.  U. y )
136, 12syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  ( suc  v  e.  A  ->  v  e.  U. y ) )
143, 13syl9 68 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  ( v  e.  A  ->  v  e. 
U. y ) ) )
1514ralrimdv 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  A. v  e.  A  v  e.  U. y ) )
16 dfss3 3330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  U. y  <->  A. v  e.  A  v  e.  U. y )
1715, 16syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  A  C_  U. y
) )
1817adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  ->  A 
C_  U. y ) )
19 uniss 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  A  ->  U. y  C_ 
U. A )
20 limuni 4633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
2120sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  ->  ( U. y  C_  A  <->  U. y  C_ 
U. A ) )
2219, 21syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  C_  A  ->  U. y  C_  A ) )
2322imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  U. y  C_  A )
2418, 23jctird 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  ->  ( A  C_  U. y  /\  U. y  C_  A
) ) )
25 eqss 3355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  U. y  <->  ( A  C_ 
U. y  /\  U. y  C_  A ) )
2624, 25syl6ibr 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  ->  A  =  U. y ) )
2726imdistanda 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w )  ->  (
y  C_  A  /\  A  =  U. y
) ) )
2827anim2d 549 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  =  U. y ) ) ) )
2928eximdv 1632 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) ) )
3029ss2abdv 3408 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
31 intss 4063 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3332adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
34 limelon 4636 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  On )
35 cfval 8116 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3634, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3733, 36sseqtr4d 3377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  ( cf `  A ) )
38 cfub 8118 . . . . 5  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
39 eqimss 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  U. y  ->  A  C_  U. y )
4039anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  =  U. y
)  ->  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) )
4140anim2i 553 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A  =  U. y
) )  ->  (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
4241eximi 1585 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) )  ->  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
4342ss2abi 3407 . . . . . 6  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
44 intss 4063 . . . . . 6  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  =  U. y ) ) } 
C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
4543, 44ax-mp 8 . . . . 5  |-  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }
4638, 45sstri 3349 . . . 4  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }
4737, 46jctil 524 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( cf `  A
)  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  /\  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  ( cf `  A ) ) )
48 eqss 3355 . . 3  |-  ( ( cf `  A )  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  <->  ( ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  /\  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  ( cf `  A ) ) )
4947, 48sylibr 204 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
501, 49sylan 458 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U.cuni 4007   |^|cint 4042   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   suc csuc 4575   ` cfv 5445   cardccrd 7811   cfccf 7813
This theorem is referenced by:  gruina  8682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-fv 5453  df-card 7815  df-cf 7817
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