MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfom Unicode version

Theorem cfom 8079
Description: Value of the cofinality function at omega (the set of natural numbers). Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfom  |-  ( cf ` 
om )  =  om

Proof of Theorem cfom
StepHypRef Expression
1 cfle 8069 . 2  |-  ( cf ` 
om )  C_  om
2 limom 4802 . . . 4  |-  Lim  om
3 omex 7533 . . . . 5  |-  om  e.  _V
43cflim2 8078 . . . 4  |-  ( Lim 
om 
<->  Lim  ( cf `  om ) )
52, 4mpbi 200 . . 3  |-  Lim  ( cf `  om )
6 limomss 4792 . . 3  |-  ( Lim  ( cf `  om )  ->  om  C_  ( cf ` 
om ) )
75, 6ax-mp 8 . 2  |-  om  C_  ( cf `  om )
81, 7eqssi 3309 1  |-  ( cf ` 
om )  =  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    C_ wss 3265   Lim wlim 4525   omcom 4787   ` cfv 5396   cfccf 7759
This theorem is referenced by:  pwcfsdom  8393  alephom  8395  omina  8501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-cf 7763
  Copyright terms: Public domain W3C validator