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Theorem cfslb2n 7910
Description: Any small collection of small subsets of  A cannot have union  A, where "small" means smaller than the cofinality. This is a stronger version of cfslb 7908. This is a common application of cofinality: under AC,  ( aleph `  1
) is regular, so it is not a countable union of countable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfslb.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cfslb2n  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( B  ~<  ( cf `  A )  ->  U. B  =/=  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem cfslb2n
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limord 4467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
2 ordsson 4597 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
3 sstr 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C_  On )  ->  x  C_  On )
43expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( x 
C_  A  ->  x  C_  On ) )
51, 2, 43syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( x  C_  A  ->  x  C_  On ) )
6 onsucuni 4635 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  On  ->  x  C_  suc  U. x )
75, 6syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( x  C_  A  ->  x  C_  suc  U. x ) )
87adantrd 454 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  x  C_ 
suc  U. x ) )
98ralimdv 2635 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  A. x  e.  B  x  C_  suc  U. x ) )
10 uniiun 3971 . . . . . . 7  |-  U. B  =  U_ x  e.  B  x
11 ss2iun 3936 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  x  C_ 
suc  U. x  ->  U_ x  e.  B  x  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x
)
1210, 11syl5eqss 3235 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  x  C_ 
suc  U. x  ->  U. B  C_ 
U_ x  e.  B  suc  U. x )
139, 12syl6 29 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  U. B  C_ 
U_ x  e.  B  suc  U. x ) )
1413imp 418 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x
)
15 cfslb.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
1615cfslbn 7909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  A  /\  x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A ) )  ->  U. x  e.  A )
17163expib 1154 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  U. x  e.  A ) )
18 ordsucss 4625 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. x  e.  A  ->  suc  U. x  C_  A ) )
191, 17, 18sylsyld 52 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  suc  U. x  C_  A )
)
2019ralimdv 2635 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  A. x  e.  B  suc  U. x  C_  A ) )
21 iunss 3959 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  <->  A. x  e.  B  suc  U. x  C_  A )
2220, 21syl6ibr 218 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A ) )
2322imp 418 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A
)
24 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( U. B  =  A  ->  ( U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  <->  A 
C_  U_ x  e.  B  suc  U. x ) )
25 eqss 3207 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  <->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  /\  A  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x
) )
2625simplbi2com 1364 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) )
2724, 26syl6bi 219 . . . . 5  |-  ( U. B  =  A  ->  ( U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) ) )
2827com3l 75 . . . 4  |-  ( U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  ->  ( U. B  =  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) ) )
2914, 23, 28sylc 56 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( U. B  =  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) )
30 limsuc 4656 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( U. x  e.  A  <->  suc  U. x  e.  A ) )
3117, 30sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  suc  U. x  e.  A ) )
3231ralimdv 2635 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A ) )
3332imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A
)
34 r19.29 2696 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A  /\  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x
)  ->  E. x  e.  B  ( suc  U. x  e.  A  /\  y  =  suc  U. x
) )
35 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  suc  U. x  ->  ( y  e.  A  <->  suc  U. x  e.  A
) )
3635biimparc 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  U. x  e.  A  /\  y  =  suc  U. x )  ->  y  e.  A
)
3736rexlimivw 2676 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  B  ( suc  U. x  e.  A  /\  y  =  suc  U. x )  ->  y  e.  A
)
3834, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A  /\  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x
)  ->  y  e.  A )
3938ex 423 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A  -> 
( E. x  e.  B  y  =  suc  U. x  ->  y  e.  A ) )
4033, 39syl 15 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( E. x  e.  B  y  =  suc  U. x  ->  y  e.  A ) )
4140abssdv 3260 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A )
42 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
4342uniex 4532 . . . . . . . 8  |-  U. x  e.  _V
4443sucex 4618 . . . . . . 7  |-  suc  U. x  e.  _V
4544dfiun2 3953 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }
4645eqeq1i 2303 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  <->  U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  =  A )
4715cfslb 7908 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A  /\  U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  =  A )  ->  ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } )
48473expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A )  ->  ( U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  =  A  ->  ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } ) )
4946, 48syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  ->  ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } ) )
5041, 49syldan 456 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  ->  ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } ) )
51 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  =  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )
5251rnmpt 4941 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
x  e.  B  |->  suc  U. x )  =  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }
5344, 51fnmpti 5388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  Fn  B
54 dffn4 5473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  Fn  B  <->  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) )
5553, 54mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )
56 relsdom 6886 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  ~<
5756brrelexi 4745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  B  e.  _V )
58 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
y  ~<  ( cf `  A
)  <->  B  ~<  ( cf `  A ) ) )
59 foeq2 5464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  (
( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : y -onto-> ran  (
x  e.  B  |->  suc  U. x )  <->  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) ) )
60 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  ( ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y  <->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x
)  ~<_  B ) )
6159, 60imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( x  e.  B  |->  suc  U. x
) : y -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y )  <-> 
( ( x  e.  B  |->  suc  U. x
) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) ) )
6258, 61imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  ~<  ( cf `  A )  -> 
( ( x  e.  B  |->  suc  U. x
) : y -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y ) )  <->  ( B  ~<  ( cf `  A )  ->  ( ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) ) ) )
63 cfon 7897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( cf `  A )  e.  On
64 sdomdom 6905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
~<  ( cf `  A
)  ->  y  ~<_  ( cf `  A ) )
65 ondomen 7680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( cf `  A
)  e.  On  /\  y  ~<_  ( cf `  A
) )  ->  y  e.  dom  card )
6663, 64, 65sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
~<  ( cf `  A
)  ->  y  e.  dom  card )
67 fodomnum 7700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : y -onto-> ran  (
x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
~<  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  suc  U. x ) : y
-onto->
ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x
)  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y ) )
6962, 68vtoclg 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  ~<  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) ) )
7057, 69mpcom 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) )
7155, 70mpi 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B )
7252, 71syl5eqbrr 4073 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ~<_  B )
73 domtr 6930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  /\  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ~<_  B )  -> 
( cf `  A
)  ~<_  B )
7472, 73sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  /\  B  ~<  ( cf `  A ) )  ->  ( cf `  A
)  ~<_  B )
75 domnsym 7003 . . . . . . 7  |-  ( ( cf `  A )  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A
) )
7674, 75syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  /\  B  ~<  ( cf `  A ) )  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) )
7776ex 423 . . . . 5  |-  ( ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ->  ( B  ~<  ( cf `  A )  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) ) )
7877pm2.01d 161 . . . 4  |-  ( ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) )
7978a1i 10 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) ) )
8029, 50, 793syld 51 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( U. B  =  A  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A
) ) )
8180necon2ad 2507 1  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( B  ~<  ( cf `  A )  ->  U. B  =/=  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   cardccrd 7584   cfccf 7586
This theorem is referenced by:  tskuni  8421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-card 7588  df-cf 7590  df-acn 7591
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