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Theorem cfsmolem 8155
Description: Lemma for cfsmo 8156. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cfsmolem.2  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  ( ( g `  dom  z )  u.  U_ t  e.  dom  z  suc  ( z `  t
) ) )
cfsmolem.3  |-  G  =  (recs ( F )  |`  ( cf `  A
) )
Assertion
Ref Expression
cfsmolem  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, w, z, A   
f, F, t, z   
f, G, w, z
Allowed substitution hints:    F( w, g)    G( t, g)

Proof of Theorem cfsmolem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cff1 8143 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. g
( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
g `  w )
) )
2 cfon 8140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cf `  A )  e.  On
32oneli 4692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  x  e.  On )
433ad2ant3 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  x  e.  On )
5 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( cf `  A )  <->  y  e.  ( cf `  A ) ) )
653anbi3d 1261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  <->  ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  y  e.  ( cf `  A
) ) ) )
7 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
87eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( G `  x
)  e.  A  <->  ( G `  y )  e.  A
) )
96, 8imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  x )  e.  A )  <->  ( (
g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  y  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  y )  e.  A ) ) )
10 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  /\  y  e.  x )  ->  g : ( cf `  A
) -1-1-> A )
11 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  /\  y  e.  x )  ->  A  e.  On )
12 ontr1 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( cf `  A )  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  ->  y  e.  ( cf `  A ) ) )
132, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
y  e.  ( cf `  A ) )
1413ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( cf `  A
) )
15143ad2antl3 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( cf `  A
) )
16 pm2.27 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  y  e.  ( cf `  A
) )  ->  (
( ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  y  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  y )  e.  A )  ->  ( G `  y )  e.  A ) )
1710, 11, 15, 16syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  y  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  y )  e.  A )  ->  ( G `  y )  e.  A ) )
1817ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  y  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  y )  e.  A )  ->  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
) )
19 cfsmolem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  G  =  (recs ( F )  |`  ( cf `  A
) )
2019fveq1i 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G `
 x )  =  ( (recs ( F )  |`  ( cf `  A ) ) `  x )
21 fvres 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  ( (recs ( F )  |`  ( cf `  A ) ) `
 x )  =  (recs ( F ) `
 x ) )
2220, 21syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  ( G `  x )  =  (recs ( F ) `  x ) )
23 recsval 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  On  ->  (recs ( F ) `  x
)  =  ( F `
 (recs ( F )  |`  x )
) )
24 recsfnon 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |- recs ( F )  Fn  On
25 fnfun 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (recs ( F )  Fn  On  ->  Fun recs ( F ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Fun recs ( F )
27 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  x  e. 
_V
28 resfunexg 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Fun recs ( F )  /\  x  e.  _V )  ->  (recs ( F )  |`  x )  e.  _V )
2926, 27, 28mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (recs ( F )  |`  x
)  e.  _V
30 dmeq 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  dom  z  =  dom  (recs ( F )  |`  x ) )
3130fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( g `  dom  z )  =  ( g `  dom  (recs ( F )  |`  x
) ) )
32 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( z `  t
)  =  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
) )
33 suceq 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z `  t )  =  ( (recs ( F )  |`  x
) `  t )  ->  suc  ( z `  t )  =  suc  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  suc  ( z `  t )  =  suc  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
) )
3530, 34iuneq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  U_ t  e.  dom  z  suc  ( z `  t )  =  U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x
) suc  ( (recs ( F )  |`  x
) `  t )
)
3631, 35uneq12d 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( ( g `  dom  z )  u.  U_ t  e.  dom  z  suc  ( z `  t
) )  =  ( ( g `  dom  (recs ( F )  |`  x ) )  u. 
U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x ) suc  (
(recs ( F )  |`  x ) `  t
) ) )
37 cfsmolem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  ( ( g `  dom  z )  u.  U_ t  e.  dom  z  suc  ( z `  t
) ) )
38 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( g `
 dom  (recs ( F )  |`  x
) )  e.  _V
3929dmex 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  dom  (recs ( F )  |`  x
)  e.  _V
40 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
)  e.  _V
4140sucex 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  suc  (
(recs ( F )  |`  x ) `  t
)  e.  _V
4239, 41iunex 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x ) suc  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t )  e.  _V
4338, 42unex 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g `  dom  (recs ( F )  |`  x
) )  u.  U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x
) suc  ( (recs ( F )  |`  x
) `  t )
)  e.  _V
4436, 37, 43fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (recs ( F )  |`  x )  e.  _V  ->  ( F `  (recs ( F )  |`  x
) )  =  ( ( g `  dom  (recs ( F )  |`  x ) )  u. 
U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x ) suc  (
(recs ( F )  |`  x ) `  t
) ) )
4529, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 (recs ( F )  |`  x )
)  =  ( ( g `  dom  (recs ( F )  |`  x
) )  u.  U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x
) suc  ( (recs ( F )  |`  x
) `  t )
)
4623, 45syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  On  ->  (recs ( F ) `  x
)  =  ( ( g `  dom  (recs ( F )  |`  x
) )  u.  U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x
) suc  ( (recs ( F )  |`  x
) `  t )
) )
47 onss 4774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  ->  x  C_  On )
48 fnssres 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (recs ( F )  Fn  On  /\  x  C_  On )  ->  (recs ( F )  |`  x
)  Fn  x )
4924, 47, 48sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  On  ->  (recs ( F )  |`  x
)  Fn  x )
50 fndm 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (recs ( F )  |`  x )  Fn  x  ->  dom  (recs ( F )  |`  x )  =  x )
51 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( dom  (recs ( F )  |`  x )  =  x  ->  ( g `  dom  (recs ( F )  |`  x ) )  =  ( g `  x
) )
52 iuneq1 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( dom  (recs ( F )  |`  x )  =  x  ->  U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x ) suc  (
(recs ( F )  |`  x ) `  t
)  =  U_ t  e.  x  suc  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
) )
53 fvres 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( t  e.  x  ->  (
(recs ( F )  |`  x ) `  t
)  =  (recs ( F ) `  t
) )
54 suceq 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
)  =  (recs ( F ) `  t
)  ->  suc  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
)  =  suc  (recs ( F ) `  t
) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  e.  x  ->  suc  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
)  =  suc  (recs ( F ) `  t
) )
5655iuneq2i 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  U_ t  e.  x  suc  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
)  =  U_ t  e.  x  suc  (recs ( F ) `  t
)
57 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  t  ->  (recs ( F ) `  y
)  =  (recs ( F ) `  t
) )
58 suceq 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (recs ( F ) `  y )  =  (recs ( F ) `  t )  ->  suc  (recs ( F ) `  y )  =  suc  (recs ( F ) `  t ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  t  ->  suc  (recs ( F ) `  y )  =  suc  (recs ( F ) `  t ) )
6059cbviunv 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  =  U_ t  e.  x  suc  (recs ( F ) `  t
)
6156, 60eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  U_ t  e.  x  suc  ( (recs ( F )  |`  x ) `  t
)  =  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)
6252, 61syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( dom  (recs ( F )  |`  x )  =  x  ->  U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x ) suc  (
(recs ( F )  |`  x ) `  t
)  =  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) )
6351, 62uneq12d 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( dom  (recs ( F )  |`  x )  =  x  ->  ( ( g `
 dom  (recs ( F )  |`  x
) )  u.  U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x
) suc  ( (recs ( F )  |`  x
) `  t )
)  =  ( ( g `  x )  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) ) )
6449, 50, 633syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  On  ->  (
( g `  dom  (recs ( F )  |`  x ) )  u. 
U_ t  e.  dom  (recs ( F )  |`  x ) suc  (
(recs ( F )  |`  x ) `  t
) )  =  ( ( g `  x
)  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) ) )
6546, 64eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  On  ->  (recs ( F ) `  x
)  =  ( ( g `  x )  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) ) )
663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  (recs ( F ) `  x
)  =  ( ( g `  x )  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) ) )
6722, 66eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  ( G `  x )  =  ( ( g `  x
)  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) ) )
68673ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On )  /\  x  e.  ( cf `  A
)  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  ->  ( G `  x )  =  ( ( g `  x
)  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) ) )
69 eloni 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
7069adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On )  ->  Ord  A )
71703ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On )  /\  x  e.  ( cf `  A
)  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  ->  Ord  A )
72 f1f 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  ->  g : ( cf `  A
) --> A )
7372ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
( g `  x
)  e.  A )
7473adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On )  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  (
g `  x )  e.  A )
75743adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On )  /\  x  e.  ( cf `  A
)  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  ->  ( g `  x )  e.  A
)
7619fveq1i 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( G `
 y )  =  ( (recs ( F )  |`  ( cf `  A ) ) `  y )
77 fvres 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ( cf `  A
)  ->  ( (recs ( F )  |`  ( cf `  A ) ) `
 y )  =  (recs ( F ) `
 y ) )
7813, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
( (recs ( F )  |`  ( cf `  A ) ) `  y )  =  (recs ( F ) `  y ) )
7976, 78syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
( G `  y
)  =  (recs ( F ) `  y
) )
8079adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  x  /\  ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) ) )  ->  ( G `  y )  =  (recs ( F ) `  y ) )
8180ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( G `  y
)  =  (recs ( F ) `  y
) )
8281eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( G `  y )  e.  A  <->  (recs ( F ) `  y )  e.  A
) )
83 ordsucss 4801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Ord 
A  ->  ( (recs ( F ) `  y
)  e.  A  ->  suc  (recs ( F ) `
 y )  C_  A ) )
8469, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  On  ->  (
(recs ( F ) `
 y )  e.  A  ->  suc  (recs ( F ) `  y
)  C_  A )
)
8584ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( (recs ( F ) `  y )  e.  A  ->  suc  (recs ( F ) `  y )  C_  A
) )
8682, 85sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( G `  y )  e.  A  ->  suc  (recs ( F ) `  y ) 
C_  A ) )
8786ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A  ->  A. y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  C_  A ) )
88 iunss 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  C_  A  <->  A. y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  C_  A
)
8987, 88syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  C_  A ) )
90893impia 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  C_  A )
91 onelon 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A  e.  On  /\  (recs ( F ) `  y )  e.  A
)  ->  (recs ( F ) `  y
)  e.  On )
9291ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  On  ->  (
(recs ( F ) `
 y )  e.  A  ->  (recs ( F ) `  y
)  e.  On ) )
9392ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( (recs ( F ) `  y )  e.  A  ->  (recs ( F ) `  y
)  e.  On ) )
9482, 93sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( G `  y )  e.  A  ->  (recs ( F ) `
 y )  e.  On ) )
95 suceloni 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (recs ( F ) `  y )  e.  On  ->  suc  (recs ( F ) `  y )  e.  On )
9694, 95syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( G `  y )  e.  A  ->  suc  (recs ( F ) `  y )  e.  On ) )
9796ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A  ->  A. y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  e.  On ) )
98973impia 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  A. y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  On )
99 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (recs ( F ) `  y
)  e.  _V
10099sucex 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  _V
10127, 100iunonOLD 6604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  e.  On  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  e.  On )
10298, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  On )
103 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  A  e.  On )
104 onsseleq 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  C_  A 
<->  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A  \/  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A ) ) )
105102, 103, 104syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  C_  A 
<->  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A  \/  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A ) ) )
106 idd 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  e.  A  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A ) )
107 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  x  e.  ( cf `  A
) )
108 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  A  e.  On )
1093ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  x  e.  On )
1103, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  (recs ( F )  |`  x
)  Fn  x )
111110adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  (recs ( F )  |`  x
)  Fn  x )
11279ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  y  e.  x )  ->  ( G `  y )  =  (recs ( F ) `
 y ) )
113 fvres 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( y  e.  x  ->  (
(recs ( F )  |`  x ) `  y
)  =  (recs ( F ) `  y
) )
114113adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
(recs ( F )  |`  x ) `  y
)  =  (recs ( F ) `  y
) )
115112, 114eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  y  e.  x )  ->  ( G `  y )  =  ( (recs ( F )  |`  x
) `  y )
)
116115eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
( G `  y
)  e.  A  <->  ( (recs ( F )  |`  x
) `  y )  e.  A ) )
117116ralbidva 2723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  ( A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A  <->  A. y  e.  x  ( (recs ( F )  |`  x ) `  y
)  e.  A ) )
118117biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  A. y  e.  x  ( (recs ( F )  |`  x
) `  y )  e.  A )
119 ffnfv 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  <->  ( (recs ( F )  |`  x
)  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( (recs ( F )  |`  x ) `  y
)  e.  A ) )
120111, 118, 119sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  (recs ( F )  |`  x
) : x --> A )
121120adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  (recs ( F )  |`  x
) : x --> A )
122 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  ->  ( t  e. 
U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  <->  t  e.  A ) )
123122biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  =  A  /\  t  e.  A )  ->  t  e.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y ) )
124123adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  =  A  /\  ( A  e.  On  /\  t  e.  A ) )  -> 
t  e.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) )
1251243adant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  =  A  /\  ( A  e.  On  /\  t  e.  A ) )  ->  t  e.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y ) )
126 onelon 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( A  e.  On  /\  t  e.  A )  ->  t  e.  On )
127126adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  t  e.  A )  /\  ( (recs ( F )  |`  x
) : x --> A  /\  y  e.  x )
)  ->  t  e.  On )
128113adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  y  e.  x )  ->  (
(recs ( F )  |`  x ) `  y
)  =  (recs ( F ) `  y
) )
129 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  y  e.  x )  ->  (
(recs ( F )  |`  x ) `  y
)  e.  A )
130128, 129eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  y  e.  x )  ->  (recs ( F ) `  y
)  e.  A )
131130, 91sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  y  e.  x ) )  -> 
(recs ( F ) `
 y )  e.  On )
132131adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  t  e.  A )  /\  ( (recs ( F )  |`  x
) : x --> A  /\  y  e.  x )
)  ->  (recs ( F ) `  y
)  e.  On )
133 onsssuc 4672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( t  e.  On  /\  (recs ( F ) `  y )  e.  On )  ->  ( t  C_  (recs ( F ) `  y )  <->  t  e.  suc  (recs ( F ) `
 y ) ) )
134127, 132, 133syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  t  e.  A )  /\  ( (recs ( F )  |`  x
) : x --> A  /\  y  e.  x )
)  ->  ( t  C_  (recs ( F ) `
 y )  <->  t  e.  suc  (recs ( F ) `
 y ) ) )
135134anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  t  e.  A )  /\  (recs ( F )  |`  x
) : x --> A )  /\  y  e.  x
)  ->  ( t  C_  (recs ( F ) `
 y )  <->  t  e.  suc  (recs ( F ) `
 y ) ) )
136135rexbidva 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  t  e.  A )  /\  (recs ( F )  |`  x ) : x --> A )  ->  ( E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y )  <->  E. y  e.  x  t  e.  suc  (recs ( F ) `
 y ) ) )
137 eliun 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( t  e.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  <->  E. y  e.  x  t  e.  suc  (recs ( F ) `  y
) )
138136, 137syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  t  e.  A )  /\  (recs ( F )  |`  x ) : x --> A )  ->  ( E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y )  <->  t  e.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y ) ) )
139138ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  ( A  e.  On  /\  t  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y
)  <->  t  e.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y ) ) )
1401393adant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  =  A  /\  ( A  e.  On  /\  t  e.  A ) )  ->  ( E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `
 y )  <->  t  e.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y ) ) )
141125, 140mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  =  A  /\  ( A  e.  On  /\  t  e.  A ) )  ->  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y ) )
1421413expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A )  /\  ( A  e.  On  /\  t  e.  A ) )  ->  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y ) )
143142anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( (recs ( F )  |`  x
) : x --> A  /\  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A )  /\  A  e.  On )  /\  t  e.  A )  ->  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y ) )
144143ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A )  /\  A  e.  On )  ->  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y ) )
145144expl 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  ->  ( ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  =  A  /\  A  e.  On )  ->  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y ) ) )
146120, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  (
( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  =  A  /\  A  e.  On )  ->  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y ) ) )
147146imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y ) )
148 feq1 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( f : x --> A  <->  (recs ( F )  |`  x ) : x --> A ) )
149 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( f  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( f `  y
)  =  ( (recs ( F )  |`  x ) `  y
) )
150149sseq2d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( f  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( t  C_  (
f `  y )  <->  t 
C_  ( (recs ( F )  |`  x
) `  y )
) )
151150rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( E. y  e.  x  t  C_  (
f `  y )  <->  E. y  e.  x  t 
C_  ( (recs ( F )  |`  x
) `  y )
) )
152113sseq2d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( y  e.  x  ->  (
t  C_  ( (recs ( F )  |`  x
) `  y )  <->  t 
C_  (recs ( F ) `  y ) ) )
153152rexbiia 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( E. y  e.  x  t 
C_  ( (recs ( F )  |`  x
) `  y )  <->  E. y  e.  x  t 
C_  (recs ( F ) `  y ) )
154151, 153syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( E. y  e.  x  t  C_  (
f `  y )  <->  E. y  e.  x  t 
C_  (recs ( F ) `  y ) ) )
155154ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  (
f `  y )  <->  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `
 y ) ) )
156148, 155anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f  =  (recs ( F )  |`  x )  ->  ( ( f : x --> A  /\  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  ( f `  y
) )  <->  ( (recs ( F )  |`  x
) : x --> A  /\  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `
 y ) ) ) )
15729, 156spcev 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( (recs ( F )  |`  x ) : x --> A  /\  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  (recs ( F ) `  y ) )  ->  E. f ( f : x --> A  /\  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  ( f `  y
) ) )
158121, 147, 157syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  E. f
( f : x --> A  /\  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  ( f `  y
) ) )
159 cfflb 8144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( E. f ( f : x --> A  /\  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  ( f `  y
) )  ->  ( cf `  A )  C_  x ) )
160159imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  E. f ( f : x --> A  /\  A. t  e.  A  E. y  e.  x  t  C_  ( f `  y
) ) )  -> 
( cf `  A
)  C_  x )
161108, 109, 158, 160syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  ( cf `  A )  C_  x )
162 ontri1 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( cf `  A
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( cf `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( cf `  A
) ) )
1632, 3, 162sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  ( ( cf `  A )  C_  x 
<->  -.  x  e.  ( cf `  A ) ) )
164163ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  (
( cf `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( cf `  A
) ) )
165161, 164mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  -.  x  e.  ( cf `  A ) )
166107, 165pm2.21dd 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  /\  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  /\  A  e.  On ) )  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A )
167166ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  (
( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  =  A  /\  A  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A ) )
168167exp3acom23 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  ( A  e.  On  ->  (
U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  =  A  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A ) ) )
169168com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  On  ->  (
( x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  ->  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  =  A  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  e.  A ) ) )
1701693impib 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  =  A  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A ) )
171106, 170jaod 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  (
( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  e.  A  \/  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  =  A )  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  e.  A ) )
172105, 171sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  ( U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  C_  A  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y )  e.  A ) )
17390, 172mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A )  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A )  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A )
1741733adant1l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On )  /\  x  e.  ( cf `  A
)  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  ->  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A )
175 ordunel 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  A  /\  (
g `  x )  e.  A  /\  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
)  e.  A )  ->  ( ( g `
 x )  u. 
U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y ) )  e.  A )
17671, 75, 174, 175syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On )  /\  x  e.  ( cf `  A
)  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  ->  ( (
g `  x )  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `
 y ) )  e.  A )
17768, 176eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On )  /\  x  e.  ( cf `  A
)  /\  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A
)  ->  ( G `  x )  e.  A
)
1781773expia 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On )  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A  ->  ( G `  x )  e.  A ) )
1791783impa 1149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  A  ->  ( G `  x )  e.  A ) )
18018, 179syld 43 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  y  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  y )  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  A ) )
181180com12 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  (
( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  y  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  y )  e.  A )  ->  (
( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  x )  e.  A ) )
182181a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  y  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  y )  e.  A )  ->  (
( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  x )  e.  A ) ) )
1839, 182tfis2 4839 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  On  ->  (
( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  x )  e.  A ) )
1844, 183mpcom 35 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On  /\  x  e.  ( cf `  A
) )  ->  ( G `  x )  e.  A )
1851843expia 1156 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On )  ->  ( x  e.  ( cf `  A )  ->  ( G `  x )  e.  A
) )
186185ralrimiv 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On )  ->  A. x  e.  ( cf `  A ) ( G `  x
)  e.  A )
1872onssi 4820 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  A )  C_  On
188 fnssres 5561 . . . . . . . . . 10  |-  ( (recs ( F )  Fn  On  /\  ( cf `  A )  C_  On )  ->  (recs ( F )  |`  ( cf `  A ) )  Fn  ( cf `  A
) )
18919fneq1i 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  Fn  ( cf `  A
)  <->  (recs ( F )  |`  ( cf `  A
) )  Fn  ( cf `  A ) )
190188, 189sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( (recs ( F )  Fn  On  /\  ( cf `  A )  C_  On )  ->  G  Fn  ( cf `  A ) )
19124, 187, 190mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  G  Fn  ( cf `  A )
192 ffnfv 5897 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( cf `  A
) --> A  <->  ( G  Fn  ( cf `  A
)  /\  A. x  e.  ( cf `  A
) ( G `  x )  e.  A
) )
193191, 192mpbiran 886 . . . . . . 7  |-  ( G : ( cf `  A
) --> A  <->  A. x  e.  ( cf `  A
) ( G `  x )  e.  A
)
194186, 193sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On )  ->  G : ( cf `  A ) --> A )
195194adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
g `  w )
)  /\  A  e.  On )  ->  G :
( cf `  A
) --> A )
196 onss 4774 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
197196adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On )  ->  A  C_  On )
1982onordi 4689 . . . . . . . 8  |-  Ord  ( cf `  A )
19999sucid 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (recs ( F ) `  y
)  e.  suc  (recs ( F ) `  y
)
200 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  y  ->  (recs ( F ) `  t
)  =  (recs ( F ) `  y
) )
201 suceq 4649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (recs ( F ) `  t )  =  (recs ( F ) `  y )  ->  suc  (recs ( F ) `  t )  =  suc  (recs ( F ) `  y ) )
202200, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  y  ->  suc  (recs ( F ) `  t )  =  suc  (recs ( F ) `  y ) )
203202eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  y  ->  (
(recs ( F ) `
 y )  e. 
suc  (recs ( F ) `
 t )  <->  (recs ( F ) `  y
)  e.  suc  (recs ( F ) `  y
) ) )
204203rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  x  /\  (recs ( F ) `  y )  e.  suc  (recs ( F ) `  y ) )  ->  E. t  e.  x  (recs ( F ) `  y )  e.  suc  (recs ( F ) `  t ) )
205199, 204mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  x  ->  E. t  e.  x  (recs ( F ) `  y
)  e.  suc  (recs ( F ) `  t
) )
206 eliun 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (recs ( F ) `  y )  e.  U_ t  e.  x  suc  (recs ( F ) `  t )  <->  E. t  e.  x  (recs ( F ) `  y
)  e.  suc  (recs ( F ) `  t
) )
207205, 206sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  x  ->  (recs ( F ) `  y
)  e.  U_ t  e.  x  suc  (recs ( F ) `  t
) )
208207, 60syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  x  ->  (recs ( F ) `  y
)  e.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) )
209 elun2 3517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (recs ( F ) `  y )  e.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y )  ->  (recs ( F ) `  y
)  e.  ( ( g `  x )  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) ) )
210208, 209syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  x  ->  (recs ( F ) `  y
)  e.  ( ( g `  x )  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y
) ) )
211210adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
(recs ( F ) `
 y )  e.  ( ( g `  x )  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y ) ) )
2123adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  ->  x  e.  On )
213212, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
(recs ( F ) `
 x )  =  ( ( g `  x )  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y ) ) )
214211, 213eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
(recs ( F ) `
 y )  e.  (recs ( F ) `
 x ) )
21522adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
( G `  x
)  =  (recs ( F ) `  x
) )
216214, 79, 2153eltr4d 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ( cf `  A ) )  -> 
( G `  y
)  e.  ( G `
 x ) )
217216expcom 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  ( y  e.  x  ->  ( G `
 y )  e.  ( G `  x
) ) )
218217ralrimiv 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  ( G `  x ) )
219218rgen 2773 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( cf `  A
) A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  ( G `  x )
220 issmo2 6614 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( cf `  A
) --> A  ->  (
( A  C_  On  /\ 
Ord  ( cf `  A
)  /\  A. x  e.  ( cf `  A
) A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  ( G `  x ) )  ->  Smo  G ) )
221220com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  Ord  ( cf `  A )  /\  A. x  e.  ( cf `  A
) A. y  e.  x  ( G `  y )  e.  ( G `  x ) )  ->  ( G : ( cf `  A
) --> A  ->  Smo  G ) )
222198, 219, 221mp3an23 1272 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  On  ->  ( G : ( cf `  A
) --> A  ->  Smo  G ) )
223197, 194, 222sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A  e.  On )  ->  Smo  G )
224223adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
g `  w )
)  /\  A  e.  On )  ->  Smo  G
)
225 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
g `  x )  =  ( g `  w ) )
226 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( G `  x )  =  ( G `  w ) )
227225, 226sseq12d 3379 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( g `  x
)  C_  ( G `  x )  <->  ( g `  w )  C_  ( G `  w )
) )
228 ssun1 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 x )  C_  ( ( g `  x )  u.  U_ y  e.  x  suc  (recs ( F ) `  y ) )
229228, 67syl5sseqr 3399 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( cf `  A
)  ->  ( g `  x )  C_  ( G `  x )
)
230227, 229vtoclga 3019 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( cf `  A
)  ->  ( g `  w )  C_  ( G `  w )
)
231 sstr 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  ( g `  w )  /\  (
g `  w )  C_  ( G `  w
) )  ->  z  C_  ( G `  w
) )
232231expcom 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  w ) 
C_  ( G `  w )  ->  (
z  C_  ( g `  w )  ->  z  C_  ( G `  w
) ) )
233230, 232syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( cf `  A
)  ->  ( z  C_  ( g `  w
)  ->  z  C_  ( G `  w ) ) )
234233reximia 2813 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( g `  w
)  ->  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  ( G `  w )
)
235234ralimi 2783 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( g `  w
)  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  ( G `  w )
)
236235ad2antlr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
g `  w )
)  /\  A  e.  On )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  ( G `  w )
)
237 fnex 5964 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  ( cf `  A )  /\  ( cf `  A )  e.  On )  ->  G  e.  _V )
238191, 2, 237mp2an 655 . . . . . 6  |-  G  e. 
_V
239 feq1 5579 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
f : ( cf `  A ) --> A  <->  G :
( cf `  A
) --> A ) )
240 smoeq 6615 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  ( Smo  f  <->  Smo  G ) )
241 fveq1 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  w )  =  ( G `  w ) )
242241sseq2d 3378 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  G  ->  (
z  C_  ( f `  w )  <->  z  C_  ( G `  w ) ) )
243242rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  G  ->  ( E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w )  <->  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  ( G `  w )
) )
244243ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w )  <->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  ( G `  w )
) )
245239, 240, 2443anbi123d 1255 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  (
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) )  <->  ( G : ( cf `  A
) --> A  /\  Smo  G  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  ( G `  w )
) ) )
246238, 245spcev 3045 . . . . 5  |-  ( ( G : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  G  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  ( G `  w )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) )
247195, 224, 236, 246syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
g `  w )
)  /\  A  e.  On )  ->  E. f
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) )
248247expcom 426 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
g `  w )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) ) )
249248exlimdv 1647 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. g ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
g `  w )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) ) )
2501, 249mpd 15 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A ) --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   U_ciun 4095    e. cmpt 4269   Ord word 4583   Oncon0 4584   suc csuc 4586   dom cdm 4881    |` cres 4883   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   ` cfv 5457   Smo wsmo 6610  recscrecs 6635   cfccf 7829
This theorem is referenced by:  cfsmo  8156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-smo 6611  df-recs 6636  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-card 7831  df-cf 7833  df-acn 7834
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