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Theorem cfsuc 8139
Description: Value of the cofinality function at a successor ordinal. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfsuc  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  1o )

Proof of Theorem cfsuc
Dummy variables  x  y  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sucelon 4799 . . 3  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
2 cfval 8129 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A
)  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
31, 2sylbi 189 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
4 cardsn 7858 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( card `  { A }
)  =  1o )
54eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  1o  =  ( card `  { A } ) )
6 snidg 3841 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  { A } )
7 elsuci 4649 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  suc  A  -> 
( z  e.  A  \/  z  =  A
) )
8 onelss 4625 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  A  -> 
z  C_  A )
)
9 eqimss 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  z  C_  A )
109a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  =  A  -> 
z  C_  A )
)
118, 10jaod 371 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  (
( z  e.  A  \/  z  =  A
)  ->  z  C_  A ) )
127, 11syl5 31 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  suc  A  ->  z  C_  A )
)
13 sseq2 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  A  ->  (
z  C_  w  <->  z  C_  A ) )
1413rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  { A }  /\  z  C_  A
)  ->  E. w  e.  { A } z 
C_  w )
156, 12, 14ee12an 1373 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  suc  A  ->  E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
1615ralrimiv 2790 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w )
17 ssun2 3513 . . . . . . 7  |-  { A }  C_  ( A  u.  { A } )
18 df-suc 4589 . . . . . . 7  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
1917, 18sseqtr4i 3383 . . . . . 6  |-  { A }  C_  suc  A
2016, 19jctil 525 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w ) )
21 snex 4407 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
22 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( card `  y
)  =  ( card `  { A } ) )
2322eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { A }  ->  ( 1o  =  (
card `  y )  <->  1o  =  ( card `  { A } ) ) )
24 sseq1 3371 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( y  C_  suc  A  <->  { A }  C_  suc  A ) )
25 rexeq 2907 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { A }  ->  ( E. w  e.  y  z  C_  w  <->  E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
2625ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w 
<-> 
A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
2724, 26anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { A }  ->  ( ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )  <->  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) ) )
2823, 27anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( y  =  { A }  ->  ( ( 1o  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( 1o  =  ( card `  { A } )  /\  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w ) ) ) )
2921, 28spcev 3045 . . . . 5  |-  ( ( 1o  =  ( card `  { A } )  /\  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) )  ->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
305, 20, 29syl2anc 644 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
31 1on 6733 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
3231elexi 2967 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
33 eqeq1 2444 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  =  ( card `  y )  <->  1o  =  ( card `  y )
) )
3433anbi1d 687 . . . . . 6  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( 1o  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
3534exbidv 1637 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
3632, 35elab 3084 . . . 4  |-  ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( 1o  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
3730, 36sylibr 205 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
38 el1o 6745 . . . . 5  |-  ( v  e.  1o  <->  v  =  (/) )
39 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  ( card `  y
)  =  (/) )
40 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
41 onssnum 7923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
4240, 41mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
43 cardnueq0 7853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( card `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (
card `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4539, 44syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  y  =  (/) ) )
4645biimpa 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  y  =  (/) )
47 rex0 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  suc  A  ->  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w )
4948nrex 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
50 nsuceq0 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  A  =/=  (/)
51 r19.2z 3719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( suc  A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5250, 51mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w  ->  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w )
5349, 52mto 170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
54 rexeq 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w  e.  (/)  z  C_  w
) )
5554ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w  <->  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
5653, 55mtbiri 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )
5746, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )
5857intnand 884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  -.  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
59 imnan 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  ->  -.  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  -.  (
( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
6058, 59mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (
( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
61 suceloni 4795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
62 onss 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  suc 
A  C_  On )
63 sstr 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  suc  A  C_  On )  ->  y  C_  On )
6462, 63sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  suc  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
6561, 64sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
6665ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  suc  A )  ->  y  C_  On )
6766adantrr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
68673adant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
69 simp2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  (/)  =  ( card `  y
) )
70 simp3 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )
7168, 69, 70jca31 522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
72713expib 1157 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  ( (
y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
7360, 72mtoi 172 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  -.  ( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
7473nexdv 1942 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  -.  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
75 0ex 4341 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
76 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  (/)  =  ( card `  y ) ) )
7776anbi1d 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  <->  ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
7877exbidv 1637 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
7975, 78elab 3084 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
8074, 79sylnibr 298 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  -.  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8180adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  ->  -.  (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
82 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( v  =  (/)  ->  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
8382adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  -> 
( v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
8481, 83mtbird 294 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  ->  -.  v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8538, 84sylan2b 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  e.  1o )  ->  -.  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8685ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
87 cardon 7833 . . . . . . . 8  |-  ( card `  y )  e.  On
88 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
8987, 88mpbiri 226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
9089adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  x  e.  On )
9190exlimiv 1645 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  x  e.  On )
9291abssi 3420 . . . 4  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On
93 oneqmini 4634 . . . 4  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On  ->  ( ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  /\  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
9492, 93ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  /\  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
9537, 86, 94syl2anc 644 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
963, 95eqtr4d 2473 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   |^|cint 4052   Oncon0 4583   suc csuc 4585   dom cdm 4880   ` cfv 5456   1oc1o 6719   cardccrd 7824   cfccf 7826
This theorem is referenced by:  cflim2  8145  cfpwsdom  8461  rankcf  8654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-riota 6551  df-recs 6635  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-cf 7830
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