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Theorem cfsuc 7899
Description: Value of the cofinality function at a successor ordinal. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfsuc  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  1o )

Proof of Theorem cfsuc
Dummy variables  x  y  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sucelon 4624 . . 3  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
2 cfval 7889 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A
)  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
31, 2sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
4 cardsn 7618 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( card `  { A }
)  =  1o )
54eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  1o  =  ( card `  { A } ) )
6 snidg 3678 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  { A } )
7 elsuci 4474 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  suc  A  -> 
( z  e.  A  \/  z  =  A
) )
8 onelss 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  A  -> 
z  C_  A )
)
9 eqimss 3243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  z  C_  A )
109a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  =  A  -> 
z  C_  A )
)
118, 10jaod 369 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  (
( z  e.  A  \/  z  =  A
)  ->  z  C_  A ) )
127, 11syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  suc  A  ->  z  C_  A )
)
13 sseq2 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  A  ->  (
z  C_  w  <->  z  C_  A ) )
1413rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  { A }  /\  z  C_  A
)  ->  E. w  e.  { A } z 
C_  w )
156, 12, 14ee12an 1353 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  suc  A  ->  E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
1615ralrimiv 2638 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w )
17 ssun2 3352 . . . . . . 7  |-  { A }  C_  ( A  u.  { A } )
18 df-suc 4414 . . . . . . 7  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
1917, 18sseqtr4i 3224 . . . . . 6  |-  { A }  C_  suc  A
2016, 19jctil 523 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w ) )
21 snex 4232 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
22 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( card `  y
)  =  ( card `  { A } ) )
2322eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { A }  ->  ( 1o  =  (
card `  y )  <->  1o  =  ( card `  { A } ) ) )
24 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( y  C_  suc  A  <->  { A }  C_  suc  A ) )
25 rexeq 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { A }  ->  ( E. w  e.  y  z  C_  w  <->  E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
2625ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w 
<-> 
A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
2724, 26anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { A }  ->  ( ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )  <->  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) ) )
2823, 27anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( y  =  { A }  ->  ( ( 1o  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( 1o  =  ( card `  { A } )  /\  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w ) ) ) )
2921, 28spcev 2888 . . . . 5  |-  ( ( 1o  =  ( card `  { A } )  /\  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) )  ->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
305, 20, 29syl2anc 642 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
31 1on 6502 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
3231elexi 2810 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
33 eqeq1 2302 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  =  ( card `  y )  <->  1o  =  ( card `  y )
) )
3433anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( 1o  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
3534exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
3632, 35elab 2927 . . . 4  |-  ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( 1o  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
3730, 36sylibr 203 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
38 el1o 6514 . . . . 5  |-  ( v  e.  1o  <->  v  =  (/) )
39 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  ( card `  y
)  =  (/) )
40 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
41 onssnum 7683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
4240, 41mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
43 cardnueq0 7613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( card `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (
card `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4539, 44syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  y  =  (/) ) )
4645biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  y  =  (/) )
47 rex0 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  suc  A  ->  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w )
4948nrex 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
50 nsuceq0 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  A  =/=  (/)
51 r19.2z 3556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( suc  A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5250, 51mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w  ->  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w )
5349, 52mto 167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
54 rexeq 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w  e.  (/)  z  C_  w
) )
5554ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w  <->  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
5653, 55mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )
5746, 56syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )
5857intnand 882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  -.  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
59 imnan 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  ->  -.  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  -.  (
( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
6058, 59mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (
( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
61 suceloni 4620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
62 onss 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  suc 
A  C_  On )
63 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  suc  A  C_  On )  ->  y  C_  On )
6462, 63sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  suc  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
6561, 64sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
6665ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  suc  A )  ->  y  C_  On )
6766adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
68673adant2 974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
69 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  (/)  =  ( card `  y
) )
70 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )
7168, 69, 70jca31 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
72713expib 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  ( (
y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
7360, 72mtoi 169 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  -.  ( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
7473nexdv 1869 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  -.  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
75 0ex 4166 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
76 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  (/)  =  ( card `  y ) ) )
7776anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  <->  ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
7877exbidv 1616 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
7975, 78elab 2927 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
8074, 79sylnibr 296 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  -.  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8180adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  ->  -.  (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
82 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( v  =  (/)  ->  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
8382adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  -> 
( v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
8481, 83mtbird 292 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  ->  -.  v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8538, 84sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  e.  1o )  ->  -.  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8685ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
87 cardon 7593 . . . . . . . 8  |-  ( card `  y )  e.  On
88 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
8987, 88mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
9089adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  x  e.  On )
9190exlimiv 1624 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  x  e.  On )
9291abssi 3261 . . . 4  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On
93 oneqmini 4459 . . . 4  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On  ->  ( ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  /\  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
9492, 93ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  /\  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
9537, 86, 94syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
963, 95eqtr4d 2331 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   |^|cint 3878   Oncon0 4408   suc csuc 4410   dom cdm 4705   ` cfv 5271   1oc1o 6488   cardccrd 7584   cfccf 7586
This theorem is referenced by:  cflim2  7905  cfpwsdom  8222  rankcf  8415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cf 7590
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