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Theorem cfub 7965
Description: An upper bound on cofinality. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfub  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cfub
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 7963 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
2 dfss3 3246 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  U. y  <->  A. z  e.  A  z  e.  U. y )
3 ssel 3250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  A  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  A )
)
4 onelon 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
54ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  On )
)
63, 5sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( w  e.  y  ->  w  e.  On ) )
7 onelss 4516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  On  ->  (
z  e.  w  -> 
z  C_  w )
)
86, 7syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( w  e.  y  ->  ( z  e.  w  ->  z  C_  w ) ) )
98imdistand 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( ( w  e.  y  /\  z  e.  w )  ->  (
w  e.  y  /\  z  C_  w ) ) )
109ancomsd 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  ->  (
w  e.  y  /\  z  C_  w ) ) )
1110eximdv 1622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  ->  E. w ( w  e.  y  /\  z  C_  w ) ) )
12 eluni 3911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) )
13 df-rex 2625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w
( w  e.  y  /\  z  C_  w
) )
1411, 12, 133imtr4g 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( z  e.  U. y  ->  E. w  e.  y  z  C_  w )
)
1514ralimdv 2698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( A. z  e.  A  z  e.  U. y  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
162, 15syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( A  C_  U. y  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
1716imdistanda 674 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  C_  A  /\  A  C_  U. y
)  ->  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
1817anim2d 548 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y
) )  ->  (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
1918eximdv 1622 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) )  ->  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
2019ss2abdv 3322 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } 
C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
21 intss 3964 . . . 4  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y
) ) }  C_  { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
2220, 21syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
231, 22eqsstrd 3288 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  C_  |^|
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
24 0ss 3559 . . 3  |-  (/)  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
25 cff 7964 . . . . . . 7  |-  cf : On
--> On
2625fdmi 5477 . . . . . 6  |-  dom  cf  =  On
2726eleq2i 2422 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  cf  <->  A  e.  On )
28 ndmfv 5635 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  cf  ->  ( cf `  A
)  =  (/) )
2927, 28sylnbir 298 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
3029sseq1d 3281 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( ( cf `  A
)  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }  <->  (/)  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } ) )
3124, 30mpbiri 224 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A ) 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
3223, 31pm2.61i 156 1  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   (/)c0 3531   U.cuni 3908   |^|cint 3943   Oncon0 4474   dom cdm 4771   ` cfv 5337   cardccrd 7658   cfccf 7660
This theorem is referenced by:  cflm  7966  cf0  7967
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-fv 5345  df-card 7662  df-cf 7664
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