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Theorem cfub 8089
Description: An upper bound on cofinality. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfub  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cfub
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8087 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
2 dfss3 3302 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  U. y  <->  A. z  e.  A  z  e.  U. y )
3 ssel 3306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  A  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  A )
)
4 onelon 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
54ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  On )
)
63, 5sylan9r 640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( w  e.  y  ->  w  e.  On ) )
7 onelss 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  On  ->  (
z  e.  w  -> 
z  C_  w )
)
86, 7syl6 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( w  e.  y  ->  ( z  e.  w  ->  z  C_  w ) ) )
98imdistand 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( ( w  e.  y  /\  z  e.  w )  ->  (
w  e.  y  /\  z  C_  w ) ) )
109ancomsd 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  ->  (
w  e.  y  /\  z  C_  w ) ) )
1110eximdv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  ->  E. w ( w  e.  y  /\  z  C_  w ) ) )
12 eluni 3982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) )
13 df-rex 2676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w
( w  e.  y  /\  z  C_  w
) )
1411, 12, 133imtr4g 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( z  e.  U. y  ->  E. w  e.  y  z  C_  w )
)
1514ralimdv 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( A. z  e.  A  z  e.  U. y  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
162, 15syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( A  C_  U. y  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
1716imdistanda 675 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  C_  A  /\  A  C_  U. y
)  ->  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
1817anim2d 549 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y
) )  ->  (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
1918eximdv 1629 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) )  ->  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
2019ss2abdv 3380 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } 
C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
21 intss 4035 . . . 4  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y
) ) }  C_  { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
231, 22eqsstrd 3346 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  C_  |^|
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
24 cff 8088 . . . . . 6  |-  cf : On
--> On
2524fdmi 5559 . . . . 5  |-  dom  cf  =  On
2625eleq2i 2472 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  cf  <->  A  e.  On )
27 ndmfv 5718 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  cf  ->  ( cf `  A
)  =  (/) )
2826, 27sylnbir 299 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
29 0ss 3620 . . 3  |-  (/)  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
3028, 29syl6eqss 3362 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A ) 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
3123, 30pm2.61i 158 1  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2394   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   (/)c0 3592   U.cuni 3979   |^|cint 4014   Oncon0 4545   dom cdm 4841   ` cfv 5417   cardccrd 7782   cfccf 7784
This theorem is referenced by:  cflm  8090  cf0  8091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fv 5425  df-card 7786  df-cf 7788
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