MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfub Structured version   Unicode version

Theorem cfub 8134
Description: An upper bound on cofinality. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfub  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cfub
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8132 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
2 dfss3 3340 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  U. y  <->  A. z  e.  A  z  e.  U. y )
3 ssel 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  A  ->  (
w  e.  y  ->  w  e.  A )
)
4 onelon 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
54ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  On )
)
63, 5sylan9r 641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( w  e.  y  ->  w  e.  On ) )
7 onelss 4626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  On  ->  (
z  e.  w  -> 
z  C_  w )
)
86, 7syl6 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( w  e.  y  ->  ( z  e.  w  ->  z  C_  w ) ) )
98imdistand 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( ( w  e.  y  /\  z  e.  w )  ->  (
w  e.  y  /\  z  C_  w ) ) )
109ancomsd 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  ->  (
w  e.  y  /\  z  C_  w ) ) )
1110eximdv 1633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  y )  ->  E. w ( w  e.  y  /\  z  C_  w ) ) )
12 eluni 4020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. w
( z  e.  w  /\  w  e.  y
) )
13 df-rex 2713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w
( w  e.  y  /\  z  C_  w
) )
1411, 12, 133imtr4g 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( z  e.  U. y  ->  E. w  e.  y  z  C_  w )
)
1514ralimdv 2787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( A. z  e.  A  z  e.  U. y  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
162, 15syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
( A  C_  U. y  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
1716imdistanda 676 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  C_  A  /\  A  C_  U. y
)  ->  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
1817anim2d 550 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y
) )  ->  (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
1918eximdv 1633 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) )  ->  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
2019ss2abdv 3418 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } 
C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
21 intss 4073 . . . 4  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y
) ) }  C_  { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
231, 22eqsstrd 3384 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  C_  |^|
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
24 cff 8133 . . . . . 6  |-  cf : On
--> On
2524fdmi 5599 . . . . 5  |-  dom  cf  =  On
2625eleq2i 2502 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  cf  <->  A  e.  On )
27 ndmfv 5758 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  cf  ->  ( cf `  A
)  =  (/) )
2826, 27sylnbir 300 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
29 0ss 3658 . . 3  |-  (/)  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
3028, 29syl6eqss 3400 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A ) 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } )
3123, 30pm2.61i 159 1  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   |^|cint 4052   Oncon0 4584   dom cdm 4881   ` cfv 5457   cardccrd 7827   cfccf 7829
This theorem is referenced by:  cflm  8135  cf0  8136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-card 7831  df-cf 7833
  Copyright terms: Public domain W3C validator