Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrextendand Unicode version

Theorem cgrextendand 24632
Description: Deduction form of cgrextend 24631. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrextendand.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cgrextendand.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
cgrextendand.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
cgrextendand.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
cgrextendand.5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
cgrextendand.6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
cgrextendand.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
cgrextendand.8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  Btwn  <. A ,  C >. )
cgrextendand.9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E  Btwn  <. D ,  F >. )
cgrextendand.10  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >. )
cgrextendand.11  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. B ,  C >.Cgr <. E ,  F >. )
Assertion
Ref Expression
cgrextendand  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  C >.Cgr <. D ,  F >. )

Proof of Theorem cgrextendand
StepHypRef Expression
1 cgrextendand.8 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  Btwn  <. A ,  C >. )
2 cgrextendand.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E  Btwn  <. D ,  F >. )
31, 2jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  E  Btwn  <. D ,  F >. ) )
4 cgrextendand.10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >. )
5 cgrextendand.11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. B ,  C >.Cgr <. E ,  F >. )
64, 5jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. D ,  E >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. E ,  F >. ) )
7 cgrextendand.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
8 cgrextendand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
9 cgrextendand.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
10 cgrextendand.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
11 cgrextendand.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
12 cgrextendand.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
13 cgrextendand.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
14 cgrextend 24631 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  E  Btwn  <. D ,  F >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. E ,  F >. ) )  ->  <. A ,  C >.Cgr <. D ,  F >. ) )
157, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14syl133anc 1205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
Btwn  <. A ,  C >.  /\  E  Btwn  <. D ,  F >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. E ,  F >. ) )  ->  <. A ,  C >.Cgr <. D ,  F >. ) )
1615adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( B 
Btwn  <. A ,  C >.  /\  E  Btwn  <. D ,  F >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. D ,  E >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. E ,  F >. ) )  ->  <. A ,  C >.Cgr <. D ,  F >. ) )
173, 6, 16mp2and 660 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  C >.Cgr <. D ,  F >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   <.cop 3643   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   NNcn 9746   EEcee 24516    Btwn cbtwn 24517  Cgrccgr 24518
This theorem is referenced by:  cgrxfr  24678  btwnconn1lem1  24710  btwnconn1lem2  24711  btwnconn1lem3  24712  btwnconn1lem8  24717  btwnconn1lem10  24719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-ee 24519  df-btwn 24520  df-cgr 24521  df-ofs 24606
  Copyright terms: Public domain W3C validator