Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrtr3and Structured version   Unicode version

Theorem cgrtr3and 25921
Description: Deduction form of cgrtr3 25920. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrtr3and.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cgrtr3and.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.8  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
cgrtr3and.9  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )
Assertion
Ref Expression
cgrtr3and  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )

Proof of Theorem cgrtr3and
StepHypRef Expression
1 cgrtr3and.8 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
2 cgrtr3and.9 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )
3 cgrtr3and.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 cgrtr3and.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
5 cgrtr3and.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
6 cgrtr3and.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
7 cgrtr3and.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
8 cgrtr3and.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
9 cgrtr3and.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
10 cgrtr3 25920 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10syl133anc 1207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
1211adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
131, 2, 12mp2and 661 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   <.cop 3809   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   NNcn 9992   EEcee 25819  Cgrccgr 25821
This theorem is referenced by:  btwnconn1lem1  26013  btwnconn1lem3  26015  btwnconn1lem4  26016  btwnconn1lem5  26017  btwnconn1lem6  26018  btwnconn1lem9  26021  outsideofeq  26056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-sum 12472  df-ee 25822  df-cgr 25824
  Copyright terms: Public domain W3C validator