Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrtr4d Structured version   Unicode version

Theorem cgrtr4d 25924
Description: Deduction form of axcgrtr 25859. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrtr4d.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cgrtr4d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr4d.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr4d.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr4d.5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr4d.6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr4d.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr4d.8  |-  ( ph  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
cgrtr4d.9  |-  ( ph  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
Assertion
Ref Expression
cgrtr4d  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )

Proof of Theorem cgrtr4d
StepHypRef Expression
1 cgrtr4d.8 . 2  |-  ( ph  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
2 cgrtr4d.9 . 2  |-  ( ph  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
3 cgrtr4d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 cgrtr4d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
5 cgrtr4d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
6 cgrtr4d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
7 cgrtr4d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
8 cgrtr4d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
9 cgrtr4d.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
10 axcgrtr 25859 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )  ->  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  F >. ) )
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10syl133anc 1208 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >. )  ->  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  F >. ) )
121, 2, 11mp2and 662 1  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   <.cop 3819   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   NNcn 10005   EEcee 25832  Cgrccgr 25834
This theorem is referenced by:  cgrtr4and  25925  cgrrflx  25926  segconeq  25949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-sum 12485  df-ee 25835  df-cgr 25837
  Copyright terms: Public domain W3C validator