MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem chebbnd1lem2 21164
Description: Lemma for chebbnd1 21166: Show that  log ( N )  /  N does not change too much between  N and  M  =  |_ ( N  /  2
). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 10617 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
2 4nn 10135 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
32nnzi 10305 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
6 rehalfcl 10194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
76adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
87flcld 11207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
95, 8syl5eqel 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
10 4t2e8 10130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
11 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  <_  N )
1210, 11syl5eqbr 4245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  x.  2 )  <_  N )
13 4re 10073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  RR )
15 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR )
16 2re 10069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
18 2pos 10082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  2 )
20 lemuldiv 9889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 4  x.  2 )  <_  N 
<->  4  <_  ( N  /  2 ) ) )
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4  x.  2 )  <_  N  <->  4  <_  ( N  / 
2 ) ) )
2212, 21mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( N  /  2 ) )
23 flge 11214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
247, 3, 23sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
2522, 24mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
2625, 5syl6breqr 4252 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  M )
27 eluz2 10494 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  4  <_  M ) )
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1138 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
29 nnuz 10521 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3029uztrn2 10503 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  M  e.  NN )
312, 28, 30sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN )
3231nnrpd 10647 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR+ )
33 rpmulcl 10633 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  M  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  M )  e.  RR+ )
341, 32, 33sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR+ )
3534relogcld 20518 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
3635, 34rerpdivcld 10675 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
37 0re 9091 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
39 8re 10078 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  e.  RR )
41 8pos 10090 . . . . . . . 8  |-  0  <  8
4241a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  8 )
4338, 40, 15, 42, 11ltletrd 9230 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  N )
4415, 43elrpd 10646 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR+ )
4544rphalfcld 10660 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR+ )
4645relogcld 20518 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  e.  RR )
4746, 45rerpdivcld 10675 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  e.  RR )
4844relogcld 20518 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  RR )
4948, 44rerpdivcld 10675 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
50 remulcl 9075 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
5116, 49, 50sylancr 645 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
529zred 10375 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR )
53 peano2re 9239 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5452, 53syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  e.  RR )
55 remulcl 9075 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  RR )
5616, 52, 55sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR )
57 flltp1 11209 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  < 
( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 ) )
587, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
595oveq1i 6091 . . . . 5  |-  ( M  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 )
6058, 59syl6breqr 4252 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( M  +  1 ) )
61 1re 9090 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
6331nnge1d 10042 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <_  M )
6462, 52, 52, 63leadd2dd 9641 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( M  +  M ) )
6552recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  CC )
66652timesd 10210 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  =  ( M  +  M ) )
6764, 66breqtrrd 4238 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( 2  x.  M ) )
687, 54, 56, 60, 67ltletrd 9230 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M ) )
69 ere 12691 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR
7069a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  RR )
71 egt2lt3 12805 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
7271simpri 449 . . . . . . . 8  |-  _e  <  3
73 3lt4 10145 . . . . . . . 8  |-  3  <  4
74 3re 10071 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
7569, 74, 13lttri 9199 . . . . . . . 8  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
7672, 73, 75mp2an 654 . . . . . . 7  |-  _e  <  4
7776a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  4 )
7870, 14, 7, 77, 22ltletrd 9230 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( N  / 
2 ) )
7970, 7, 78ltled 9221 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( N  / 
2 ) )
8070, 7, 56, 78, 68lttrd 9231 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( 2  x.  M ) )
8170, 56, 80ltled 9221 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( 2  x.  M ) )
82 logdivlt 20516 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  / 
2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( N  /  2 ) )  /\  ( ( 2  x.  M )  e.  RR  /\  _e  <_  ( 2  x.  M ) ) )  ->  (
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M )  <->  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  / 
( 2  x.  M
) )  <  (
( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) ) )
837, 79, 56, 81, 82syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  (
2  x.  M )  <-> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) ) )
8468, 83mpbid 202 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) )
85 rphalflt 10638 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( N  /  2 )  < 
N )
8644, 85syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  N )
87 logltb 20494 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( N  /  2
)  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2
) )  <  ( log `  N ) ) )
8845, 44, 87syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) ) )
8986, 88mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) )
9046, 48, 45, 89ltdiv1dd 10701 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) ) )
9148recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  CC )
9215recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  CC )
9317recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  CC )
9444rpne0d 10653 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  =/=  0 )
95 2ne0 10083 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
9695a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  =/=  0 )
9791, 92, 93, 94, 96divdiv2d 9822 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N ) )
9891, 93mulcomd 9109 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( log `  N
) ) )
9998oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
) )
10093, 91, 92, 94divassd 9825 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
)  =  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) ) )
10197, 99, 1003eqtrd 2472 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
10290, 101breqtrd 4236 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )
10336, 47, 51, 84, 102lttrd 9231 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   8c8 10055   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   |_cfl 11201   _eceu 12665   logclog 20452
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  21165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454
  Copyright terms: Public domain W3C validator