MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Unicode version

Theorem chebbnd1lem2 21031
Description: Lemma for chebbnd1 21033: Show that  log ( N )  /  N does not change too much between  N and  M  =  |_ ( N  /  2
). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 10549 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
2 4nn 10067 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
32nnzi 10237 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
6 rehalfcl 10126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
76adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
87flcld 11134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
95, 8syl5eqel 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
10 4t2e8 10062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
11 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  <_  N )
1210, 11syl5eqbr 4186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  x.  2 )  <_  N )
13 4re 10005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  RR )
15 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR )
16 2re 10001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
18 2pos 10014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  2 )
20 lemuldiv 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 4  x.  2 )  <_  N 
<->  4  <_  ( N  /  2 ) ) )
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4  x.  2 )  <_  N  <->  4  <_  ( N  / 
2 ) ) )
2212, 21mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( N  /  2 ) )
23 flge 11141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
247, 3, 23sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
2522, 24mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
2625, 5syl6breqr 4193 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  M )
27 eluz2 10426 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  4  <_  M ) )
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1138 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
29 nnuz 10453 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3029uztrn2 10435 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  M  e.  NN )
312, 28, 30sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN )
3231nnrpd 10579 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR+ )
33 rpmulcl 10565 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  M  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  M )  e.  RR+ )
341, 32, 33sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR+ )
3534relogcld 20385 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
3635, 34rerpdivcld 10607 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
37 0re 9024 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
39 8re 10010 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  e.  RR )
41 8pos 10022 . . . . . . . 8  |-  0  <  8
4241a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  8 )
4338, 40, 15, 42, 11ltletrd 9162 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  N )
4415, 43elrpd 10578 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR+ )
4544rphalfcld 10592 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR+ )
4645relogcld 20385 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  e.  RR )
4746, 45rerpdivcld 10607 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  e.  RR )
4844relogcld 20385 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  RR )
4948, 44rerpdivcld 10607 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
50 remulcl 9008 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
5116, 49, 50sylancr 645 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
529zred 10307 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR )
53 peano2re 9171 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5452, 53syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  e.  RR )
55 remulcl 9008 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  RR )
5616, 52, 55sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR )
57 flltp1 11136 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  < 
( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 ) )
587, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
595oveq1i 6030 . . . . 5  |-  ( M  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 )
6058, 59syl6breqr 4193 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( M  +  1 ) )
61 1re 9023 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
6331nnge1d 9974 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <_  M )
6462, 52, 52, 63leadd2dd 9573 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( M  +  M ) )
6552recnd 9047 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  CC )
66652timesd 10142 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  =  ( M  +  M ) )
6764, 66breqtrrd 4179 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( 2  x.  M ) )
687, 54, 56, 60, 67ltletrd 9162 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M ) )
69 ere 12618 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR
7069a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  RR )
71 egt2lt3 12732 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
7271simpri 449 . . . . . . . 8  |-  _e  <  3
73 3lt4 10077 . . . . . . . 8  |-  3  <  4
74 3re 10003 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
7569, 74, 13lttri 9131 . . . . . . . 8  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
7672, 73, 75mp2an 654 . . . . . . 7  |-  _e  <  4
7776a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  4 )
7870, 14, 7, 77, 22ltletrd 9162 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( N  / 
2 ) )
7970, 7, 78ltled 9153 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( N  / 
2 ) )
8070, 7, 56, 78, 68lttrd 9163 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( 2  x.  M ) )
8170, 56, 80ltled 9153 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( 2  x.  M ) )
82 logdivlt 20383 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  / 
2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( N  /  2 ) )  /\  ( ( 2  x.  M )  e.  RR  /\  _e  <_  ( 2  x.  M ) ) )  ->  (
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M )  <->  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  / 
( 2  x.  M
) )  <  (
( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) ) )
837, 79, 56, 81, 82syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  (
2  x.  M )  <-> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) ) )
8468, 83mpbid 202 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) )
85 rphalflt 10570 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( N  /  2 )  < 
N )
8644, 85syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  N )
87 logltb 20361 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( N  /  2
)  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2
) )  <  ( log `  N ) ) )
8845, 44, 87syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) ) )
8986, 88mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) )
9046, 48, 45, 89ltdiv1dd 10633 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) ) )
9148recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  CC )
9215recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  CC )
9317recnd 9047 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  CC )
9444rpne0d 10585 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  =/=  0 )
95 2ne0 10015 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
9695a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  =/=  0 )
9791, 92, 93, 94, 96divdiv2d 9754 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N ) )
9891, 93mulcomd 9042 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( log `  N
) ) )
9998oveq1d 6035 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
) )
10093, 91, 92, 94divassd 9757 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
)  =  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) ) )
10197, 99, 1003eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
10290, 101breqtrd 4177 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )
10336, 47, 51, 84, 102lttrd 9163 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   3c3 9982   4c4 9983   8c8 9987   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   RR+crp 10544   |_cfl 11128   _eceu 12592   logclog 20319
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  21032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-e 12598  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-log 20321
  Copyright terms: Public domain W3C validator