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Theorem chebbnd1lem3 20620
Description: Lemma for chebbnd1 20621: get a lower bound on π ( N )  /  ( N  /  log ( N ) ) that is independent of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem3
StepHypRef Expression
1 2rp 10359 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
2 relogcl 19932 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
4 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5 2re 9815 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
6 ere 12370 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
75, 6remulcli 8851 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _e )  e.  RR
8 2pos 9828 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
9 epos 12485 . . . . . . . 8  |-  0  <  _e
105, 6, 8, 9mulgt0ii 8952 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 2  x.  _e )
117, 10gt0ne0ii 9309 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _e )  =/=  0
124, 7, 11redivcli 9527 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  e.  RR
133, 12resubcli 9109 . . . 4  |-  ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR
14 2ne0 9829 . . . 4  |-  2  =/=  0
1513, 5, 14redivcli 9527 . . 3  |-  ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  /  2 )  e.  RR
1615a1i 10 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  e.  RR )
175a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
18 8re 9824 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
1918a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  e.  RR )
20 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR )
21 2lt8 9912 . . . . . . . . 9  |-  2  <  8
225, 18, 21ltleii 8941 . . . . . . . 8  |-  2  <_  8
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  8 )
24 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  <_  N )
2517, 19, 20, 23, 24letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  N )
26 ppinncl 20412 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  NN )
2725, 26syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  NN )
2827nnred 9761 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  RR )
29 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
30 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
3130adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
3231flcld 10930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
3329, 32syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3433zred 10117 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR )
35 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  RR )
365, 34, 35sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR )
374a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
38 1lt2 9886 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
3938a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <  2 )
40 2cn 9816 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
4140mulid1i 8839 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
42 4nn 9879 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
4342nnzi 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  ZZ
4443a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
45 4t2e8 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
4645, 24syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  x.  2 )  <_  N )
47 4re 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  RR )
498a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  2 )
50 lemuldiv 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 4  x.  2 )  <_  N 
<->  4  <_  ( N  /  2 ) ) )
5148, 20, 17, 49, 50syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4  x.  2 )  <_  N  <->  4  <_  ( N  / 
2 ) ) )
5246, 51mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( N  /  2 ) )
53 flge 10937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
5431, 43, 53sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
5552, 54mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
5655, 29syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  M )
57 eluz2 10236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  4  <_  M ) )
5844, 33, 56, 57syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
59 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6059uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  M  e.  NN )
6142, 58, 60sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN )
6261nnge1d 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <_  M )
63 lemul2 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  M 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) ) )
6437, 34, 17, 49, 63syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  <_  M  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) ) )
6562, 64mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  M ) )
6641, 65syl5eqbrr 4057 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  <_  ( 2  x.  M ) )
6737, 17, 36, 39, 66ltletrd 8976 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <  ( 2  x.  M ) )
6836, 67rplogcld 19980 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR+ )
6968rpred 10390 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
70 2nn 9877 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
71 nnmulcl 9769 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
7270, 61, 71sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  NN )
7369, 72nndivred 9794 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
7428, 73remulcld 8863 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR )
75 rehalfcl 9938 . . 3  |-  ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  ->  ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  e.  RR )
7674, 75syl 15 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  e.  RR )
77 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
7877a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
79 8pos 9836 . . . . . . . 8  |-  0  <  8
8079a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  8 )
8178, 19, 20, 80, 24ltletrd 8976 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  N )
8220, 81elrpd 10388 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR+ )
8382relogcld 19974 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  RR )
8483, 82rerpdivcld 10417 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
8528, 84remulcld 8863 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
8613a1i 10 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR )
87 ppinncl 20412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  RR  /\  2  <_  ( 2  x.  M ) )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
8836, 66, 87syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
8988nnred 9761 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
9089, 73remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR )
91 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR  /\  (
2  x.  M )  e.  RR )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
9213, 36, 91sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
93 4pos 9832 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  4
9447, 93elrpii 10357 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
95 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ M )  e.  RR+ )
9694, 33, 95sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4 ^ M
)  e.  RR+ )
9761nnrpd 10389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR+ )
9896, 97rpdivcld 10407 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4 ^ M )  /  M
)  e.  RR+ )
9998relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  e.  RR )
10089, 69remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  e.  RR )
10197relogcld 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  M
)  e.  RR )
102 epr 12486 . . . . . . . . . 10  |-  _e  e.  RR+
103 rerpdivcl 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  _e  e.  RR+ )  ->  ( M  /  _e )  e.  RR )
10434, 102, 103sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  /  _e )  e.  RR )
10596relogcld 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
4 ^ M ) )  e.  RR )
1066a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  RR )
107 egt2lt3 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
108107simpri 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  <  3
109 3lt4 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  <  4
110 3re 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
1116, 110, 47lttri 8945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
112108, 109, 111mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  <  4
113112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  4 )
114106, 48, 34, 113, 56ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  M )
115106, 34, 114ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  M )
1166leidi 9307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  <_  _e
117 logdivlt 19972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  _e  <_  _e )  /\  ( M  e.  RR  /\  _e  <_  M )
)  ->  ( _e  <  M  <->  ( ( log `  M )  /  M
)  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
1186, 116, 117mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  _e  <_  M )  -> 
( _e  <  M  <->  ( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
11934, 115, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( _e  <  M  <->  ( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) ) )
120114, 119mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  /  M )  <  ( ( log `  _e )  /  _e ) )
121 loge 19940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( log `  _e )  =  1
122121oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  _e )  /  _e )  =  ( 1  /  _e )
123120, 122syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  /  M )  <  ( 1  /  _e ) )
1246, 9pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e  e.  RR  /\  0  <  _e )
125124a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( _e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )
12661nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  M )
12734, 126jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )
128 lt2mul2div 9632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( log `  M
)  e.  RR  /\  ( _e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) ) )  ->  ( ( ( log `  M )  x.  _e )  < 
( 1  x.  M
)  <->  ( ( log `  M )  /  M
)  <  ( 1  /  _e ) ) )
129101, 125, 37, 127, 128syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  M )  x.  _e )  <  ( 1  x.  M )  <->  ( ( log `  M )  /  M )  <  (
1  /  _e ) ) )
130123, 129mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  x.  _e )  <  ( 1  x.  M ) )
13134recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  CC )
132131mulid2d 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  x.  M
)  =  M )
133130, 132breqtrd 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  M
)  x.  _e )  <  M )
134 ltmuldiv 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  M
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
_e  e.  RR  /\  0  <  _e ) )  ->  ( ( ( log `  M )  x.  _e )  < 
M  <->  ( log `  M
)  <  ( M  /  _e ) ) )
135101, 34, 125, 134syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  M )  x.  _e )  <  M  <->  ( log `  M )  <  ( M  /  _e ) ) )
136133, 135mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  M
)  <  ( M  /  _e ) )
137101, 104, 105, 136ltsub2dd 9385 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) )  <  ( ( log `  ( 4 ^ M
) )  -  ( log `  M ) ) )
1383recni 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  2 )  e.  CC
139138a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
14012recni 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  e.  CC
141140a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 1  /  (
2  x.  _e ) )  e.  CC )
14272nnrpd 10389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR+ )
143142rpcnd 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  CC )
144139, 141, 143subdird 9236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( ( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  -  ( ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M
) ) ) )
145139, 143mulcomd 8856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
146 2z 10054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
147 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  ZZ )
148146, 33, 147sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  ZZ )
149 relogexp 19949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2  x.  M )  e.  ZZ )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
1501, 148, 149sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( log `  2
) ) )
15140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  CC )
15261nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
153 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
154153a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  NN0 )
155151, 152, 154expmuld 11248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2 ^ (
2  x.  M ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ M ) )
156 sq2 11199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
157156oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ M )  =  ( 4 ^ M
)
158155, 157syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2 ^ (
2  x.  M ) )  =  ( 4 ^ M ) )
159158fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2 ^ ( 2  x.  M ) ) )  =  ( log `  ( 4 ^ M
) ) )
160145, 150, 1593eqtr2d 2321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( log `  (
4 ^ M ) ) )
1617recni 8849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  _e )  e.  CC
162161a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  _e )  e.  CC )
16311a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  _e )  =/=  0 )
164143, 162, 163divrec2d 9540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  /  (
2  x.  _e ) )  =  ( ( 1  /  ( 2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M ) ) )
1656recni 8849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  CC
166165a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  CC )
1676, 9gt0ne0ii 9309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  =/=  0
168167a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  =/=  0 )
16914a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  =/=  0 )
170131, 166, 151, 168, 169divcan5d 9562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  /  (
2  x.  _e ) )  =  ( M  /  _e ) )
171164, 170eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 1  / 
( 2  x.  _e ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( M  /  _e ) )
172160, 171oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  M
) )  -  (
( 1  /  (
2  x.  _e ) )  x.  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) ) )
173144, 172eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( M  /  _e ) ) )
17496, 97relogdivd 19977 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  =  ( ( log `  ( 4 ^ M ) )  -  ( log `  M
) ) )
175137, 173, 1743brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  <  ( log `  ( ( 4 ^ M )  /  M
) ) )
176 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( 2  x.  M
)  <_  ( (
2  x.  M )  _C  M ) ,  ( 2  x.  M
) ,  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) )  =  if ( ( 2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) ,  ( 2  x.  M ) ,  ( ( 2  x.  M )  _C  M ) )
177176chebbnd1lem1 20618 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ M )  /  M
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) ) )
17858, 177syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
( 4 ^ M
)  /  M ) )  <  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) ) )
17992, 99, 100, 175, 178lttrd 8977 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  x.  (
2  x.  M ) )  <  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) ) )
18086, 100, 142ltmuldivd 10433 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  x.  ( 2  x.  M
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  <->  ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  <  (
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  /  (
2  x.  M ) ) ) )
181179, 180mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M ) ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )
18289recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
18368rpcnd 10392 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  CC )
184142rpcnne0d 10399 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  e.  CC  /\  ( 2  x.  M
)  =/=  0 ) )
185 divass 9442 . . . . . 6  |-  ( ( (π `  ( 2  x.  M ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( 2  x.  M
) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  e.  CC  /\  ( 2  x.  M
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
(π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( log `  (
2  x.  M ) ) )  /  (
2  x.  M ) )  =  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
186182, 183, 184, 185syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  (
2  x.  M ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  M
) ) )  / 
( 2  x.  M
) )  =  ( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
187181, 186breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  (
2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
188 flle 10931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  <_ 
( N  /  2
) )
18931, 188syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  <_  ( N  / 
2 ) )
19029, 189syl5eqbr 4056 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  <_  ( N  / 
2 ) )
191 lemuldiv2 9636 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  M )  <_  N 
<->  M  <_  ( N  /  2 ) ) )
19234, 20, 17, 49, 191syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  M )  <_  N  <->  M  <_  ( N  / 
2 ) ) )
193190, 192mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  <_  N )
194 ppiwordi 20400 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  x.  M )  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N ) )
19536, 20, 193, 194syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N ) )
19668, 142rpdivcld 10407 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR+ )
19789, 28, 196lemul1d 10429 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  <_ 
(π `  N )  <->  ( (π `  ( 2  x.  M
) )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <_  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
198195, 197mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  ( 2  x.  M ) )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <_  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
19986, 90, 74, 187, 198ltletrd 8976 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
200 ltdiv1 9620 . . . 4  |-  ( ( ( ( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  e.  RR  /\  (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( log `  2
)  -  ( 1  /  ( 2  x.  _e ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <-> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) ) )
20186, 74, 17, 49, 200syl112anc 1186 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  <  (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <->  ( ( ( log `  2 )  -  ( 1  / 
( 2  x.  _e ) ) )  / 
2 )  <  (
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) ) )
202199, 201mpbid 201 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (
(π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 ) )
20329chebbnd1lem2 20619 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
204 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
2055, 84, 204sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
20627nngt0d 9789 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  (π `  N
) )
207 ltmul2 9607 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR  /\  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  e.  RR  /\  (
(π `  N )  e.  RR  /\  0  < 
(π `  N ) ) )  ->  ( (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  <->  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N
)  x.  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) ) ) ) )
20873, 205, 28, 206, 207syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  M
) )  /  (
2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) )  <->  ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N )  x.  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
209203, 208mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( (π `  N )  x.  (
2  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) )
21028recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  CC )
21184recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  CC )
212210, 151, 211mul12d 9021 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )  =  ( 2  x.  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) ) )
213209, 212breqtrd 4047 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) )
214 ltdivmul 9628 . . . 4  |-  ( ( ( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  e.  RR  /\  ( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  <-> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
21574, 85, 17, 49, 214syl112anc 1186 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( (π `  N )  x.  (
( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  <  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) )  <-> 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  <  ( 2  x.  ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  N )  /  N ) ) ) ) )
216213, 215mpbird 223 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  x.  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  /  2 )  < 
( (π `  N )  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
21716, 76, 85, 202, 216lttrd 8977 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  2 )  -  ( 1  /  (
2  x.  _e ) ) )  /  2
)  <  ( (π `  N )  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   8c8 9801   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   |_cfl 10924   ^cexp 11104    _C cbc 11315   _eceu 12344   logclog 19912  πcppi 20331
This theorem is referenced by:  chebbnd1  20621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-ppi 20337
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