HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincl Unicode version

Theorem chincl 22078
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chincl  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )

Proof of Theorem chincl
StepHypRef Expression
1 ineq1 3363 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
) )
21eleq1d 2349 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  e.  CH ) )
3 ineq2 3364 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  =  ( if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )
) )
43eleq1d 2349 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  (
( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH ) )
5 helch 21823 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
65elimel 3617 . . 3  |-  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  e.  CH
75elimel 3617 . . 3  |-  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  e.  CH
86, 7chincli 22039 . 2  |-  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH
92, 4, 8dedth2h 3607 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   ifcif 3565   ~Hchil 21499   CHcch 21509
This theorem is referenced by:  chabs1  22095  chdmj1  22108  fh1  22197  fh2  22198  cm2j  22199  mdbr2  22876  mdbr3  22877  mdbr4  22878  dmdmd  22880  dmdbr2  22883  dmdbr5  22888  mddmd2  22889  mdsl0  22890  mdsl3  22896  mdsl2i  22902  mdslmd1i  22909  cvp  22955  atomli  22962  atordi  22964  atcvat3i  22976  atcvat4i  22977  mdsymlem1  22983  mdsymlem3  22985  mdsymlem5  22987  mdsymlem6  22988  sumdmdii  22995  dmdbr5ati  23002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hv0cl 21583  ax-hfvmul 21585
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-map 6774  df-nn 9747  df-hlim 21552  df-sh 21786  df-ch 21801
  Copyright terms: Public domain W3C validator