HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincl Structured version   Unicode version

Theorem chincl 23003
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chincl  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )

Proof of Theorem chincl
StepHypRef Expression
1 ineq1 3537 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
) )
21eleq1d 2504 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  e.  CH ) )
3 ineq2 3538 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  =  ( if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )
) )
43eleq1d 2504 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  (
( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH ) )
5 helch 22748 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
65elimel 3793 . . 3  |-  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  e.  CH
75elimel 3793 . . 3  |-  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  e.  CH
86, 7chincli 22964 . 2  |-  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH
92, 4, 8dedth2h 3783 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3321   ifcif 3741   ~Hchil 22424   CHcch 22434
This theorem is referenced by:  chabs1  23020  chdmj1  23033  fh1  23122  fh2  23123  cm2j  23124  mdbr2  23801  mdbr3  23802  mdbr4  23803  dmdmd  23805  dmdbr2  23808  dmdbr5  23813  mddmd2  23814  mdsl0  23815  mdsl3  23821  mdsl2i  23827  mdslmd1i  23834  cvp  23880  atomli  23887  atordi  23889  atcvat3i  23901  atcvat4i  23902  mdsymlem1  23908  mdsymlem3  23910  mdsymlem5  23912  mdsymlem6  23913  sumdmdii  23920  dmdbr5ati  23927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-hilex 22504  ax-hfvadd 22505  ax-hv0cl 22508  ax-hfvmul 22510
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-map 7022  df-nn 10003  df-hlim 22477  df-sh 22711  df-ch 22726
  Copyright terms: Public domain W3C validator