HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Structured version   Unicode version

Theorem chincli 22964
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1  |-  A  e. 
CH
chjcl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chincli  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21elexi 2967 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 chjcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43elexi 2967 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 4085 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
72, 4prss 3954 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  <->  { A ,  B }  C_ 
CH )
86, 7mpbi 201 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  CH
92prnz 3925 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 443 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_ 
CH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110chintcli 22835 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  CH
125, 11eqeltrri 2509 1  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    e. wcel 1726    =/= wne 2601    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {cpr 3817   |^|cint 4052   CHcch 22434
This theorem is referenced by:  chdmm1i  22981  chdmj1i  22985  chincl  23003  ledii  23040  lejdii  23042  lejdiri  23043  pjoml2i  23089  pjoml3i  23090  pjoml4i  23091  pjoml6i  23093  cmcmlem  23095  cmcm2i  23097  cmbr2i  23100  cmbr3i  23104  cmm1i  23110  fh3i  23127  fh4i  23128  cm2mi  23130  qlaxr3i  23140  osumcori  23147  osumcor2i  23148  spansnm0i  23154  5oai  23165  3oalem5  23170  3oalem6  23171  3oai  23172  pjssmii  23185  pjssge0ii  23186  pjcji  23188  pjocini  23202  mayetes3i  23234  pjssdif2i  23679  pjssdif1i  23680  pjin1i  23697  pjin3i  23699  pjclem1  23700  pjclem4  23704  pjci  23705  pjcmul1i  23706  pjcmul2i  23707  pj3si  23712  pj3cor1i  23714  stji1i  23747  stm1i  23748  stm1add3i  23752  jpi  23775  golem1  23776  golem2  23777  goeqi  23778  stcltrlem2  23782  mdslle1i  23822  mdslj1i  23824  mdslj2i  23825  mdsl1i  23826  mdsl2i  23827  mdsl2bi  23828  cvmdi  23829  mdslmd1lem1  23830  mdslmd1lem2  23831  mdslmd1i  23834  mdsldmd1i  23836  mdslmd3i  23837  mdslmd4i  23838  csmdsymi  23839  mdexchi  23840  hatomistici  23867  chrelat2i  23870  cvexchlem  23873  cvexchi  23874  sumdmdlem2  23924  mdcompli  23934  dmdcompli  23935  mddmdin0i  23936
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-hilex 22504  ax-hfvadd 22505  ax-hv0cl 22508  ax-hfvmul 22510
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-map 7022  df-nn 10003  df-sh 22711  df-ch 22726
  Copyright terms: Public domain W3C validator