HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Unicode version

Theorem chincli 22055
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1  |-  A  e. 
CH
chjcl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chincli  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21elexi 2810 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 chjcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43elexi 2810 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 3911 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
72, 4prss 3785 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  <->  { A ,  B }  C_ 
CH )
86, 7mpbi 199 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  CH
92prnz 3758 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 441 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_ 
CH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110chintcli 21926 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  CH
125, 11eqeltrri 2367 1  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {cpr 3654   |^|cint 3878   CHcch 21525
This theorem is referenced by:  chdmm1i  22072  chdmj1i  22076  chincl  22094  ledii  22131  lejdii  22133  lejdiri  22134  pjoml2i  22180  pjoml3i  22181  pjoml4i  22182  pjoml6i  22184  cmcmlem  22186  cmcm2i  22188  cmbr2i  22191  cmbr3i  22195  cmm1i  22201  fh3i  22218  fh4i  22219  cm2mi  22221  qlaxr3i  22231  osumcori  22238  osumcor2i  22239  spansnm0i  22245  5oai  22256  3oalem5  22261  3oalem6  22262  3oai  22263  pjssmii  22276  pjssge0ii  22277  pjcji  22279  pjocini  22293  mayetes3i  22325  pjssdif2i  22770  pjssdif1i  22771  pjin1i  22788  pjin3i  22790  pjclem1  22791  pjclem4  22795  pjci  22796  pjcmul1i  22797  pjcmul2i  22798  pj3si  22803  pj3cor1i  22805  stji1i  22838  stm1i  22839  stm1add3i  22843  jpi  22866  golem1  22867  golem2  22868  goeqi  22869  stcltrlem2  22873  mdslle1i  22913  mdslj1i  22915  mdslj2i  22916  mdsl1i  22917  mdsl2i  22918  mdsl2bi  22919  cvmdi  22920  mdslmd1lem1  22921  mdslmd1lem2  22922  mdslmd1i  22925  mdsldmd1i  22927  mdslmd3i  22928  mdslmd4i  22929  csmdsymi  22930  mdexchi  22931  hatomistici  22958  chrelat2i  22961  cvexchlem  22964  cvexchi  22965  sumdmdlem2  23015  mdcompli  23025  dmdcompli  23026  mddmdin0i  23027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hv0cl 21599  ax-hfvmul 21601
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-map 6790  df-nn 9763  df-sh 21802  df-ch 21817
  Copyright terms: Public domain W3C validator