Theorem chintcl 9290

Description: The intersection of a non-empty set of closed subspaces is a closed subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
chintcl.1	|- (A (_ CH /\ A =/= (/))

Assertion

Ref	Expression
chintcl	|- |^|A e. CH

Proof of Theorem chintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		closedsub 9088	. 2 |- (|^|A e. CH <-> (|^|A e. SH /\ A.fA.x((f:NN-->|^|A /\ f ~~>v x) -> x e. |^|A)))
2		chintcl.1	. . . . . 6 |- (A (_ CH /\ A =/= (/))
3	2	pm3.26i 320	. . . . 5 |- A (_ CH
4		chsssh 9089	. . . . 5 |- CH (_ SH
5	3, 4	sstri 2076	. . . 4 |- A (_ SH
6	2	pm3.27i 324	. . . 4 |- A =/= (/)
7	5, 6	pm3.2i 285	. . 3 |- (A (_ SH /\ A =/= (/))
8	7	shintcl 9288	. 2 |- |^|A e. SH
9		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
10	9	chlim 9099	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. CH /\ f:NN-->y /\ f ~~>v x) -> x e. y)
11	10	3exp 834	. . . . . . . . 9 |- (y e. CH -> (f:NN-->y -> (f ~~>v x -> x e. y)))
12	11	com3r 35	. . . . . . . 8 |- (f ~~>v x -> (y e. CH -> (f:NN-->y -> x e. y)))
13	3	sseli 2068	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> y e. CH)
14	12, 13	syl5 21	. . . . . . 7 |- (f ~~>v x -> (y e. A -> (f:NN-->y -> x e. y)))
15	14	imp 350	. . . . . 6 |- ((f ~~>v x /\ y e. A) -> (f:NN-->y -> x e. y))
16	15	r19.20dva 1712	. . . . 5 |- (f ~~>v x -> (A.y e. A f:NN-->y -> A.y e. A x e. y))
17	6	fint 3656	. . . . 5 |- (f:NN-->|^|A <-> A.y e. A f:NN-->y)
18	9	elint2 2544	. . . . 5 |- (x e. |^|A <-> A.y e. A x e. y)
19	16, 17, 18	3imtr4g 555	. . . 4 |- (f ~~>v x -> (f:NN-->|^|A -> x e. |^|A))
20	19	impcom 351	. . 3 |- ((f:NN-->|^|A /\ f ~~>v x) -> x e. |^|A)
21	20	gen2 985	. 2 |- A.fA.x((f:NN-->|^|A /\ f ~~>v x) -> x e. |^|A)
22	1, 8, 21	mpbir2an 732	1 |- |^|A e. CH

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648   (_ wss 2050  (/)c0 2283  |^|cint 2537   class class class wbr 2624  -->wf 3184  NNcn 5308   ~~>v chli 8791  SHcsh 8792  CHcch 8793

This theorem is referenced by:  chintclt 9291  chincl 9378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hv0cl 8868

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-n 5927  df-sh 9071  df-ch 9087

Copyright terms: Public domain