HomeHome Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem chjass 11923
Description: Associative law for Hilbert lattice join. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14.
Assertion
Ref Expression
chjass |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> ((A vH B) vH C) = (A vH (B vH C)))
Proof of Theorem chjass
StepHypRef Expression
1 opreq1 4986 . . . 4 |- (A = if(A e. CH, A, ~H) -> (A vH B) = (if(A e. CH, A, ~H) vH B))
21opreq1d 4993 . . 3 |- (A = if(A e. CH, A, ~H) -> ((A vH B) vH C) = ((if(A e. CH, A, ~H) vH B) vH C))
3 opreq1 4986 . . 3 |- (A = if(A e. CH, A, ~H) -> (A vH (B vH C)) = (if(A e. CH, A, ~H) vH (B vH C)))
42, 3eqeq12d 2155 . 2 |- (A = if(A e. CH, A, ~H) -> (((A vH B) vH C) = (A vH (B vH C)) <-> ((if(A e. CH, A, ~H) vH B) vH C) = (if(A e. CH, A, ~H) vH (B vH C))))
5 opreq2 4987 . . . 4 |- (B = if(B e. CH, B, ~H) -> (if(A e. CH, A, ~H) vH B) = (if(A e. CH, A, ~H) vH if(B e. CH, B, ~H)))
65opreq1d 4993 . . 3 |- (B = if(B e. CH, B, ~H) -> ((if(A e. CH, A, ~H) vH B) vH C) = ((if(A e. CH, A, ~H) vH if(B e. CH, B, ~H)) vH C))
7 opreq1 4986 . . . 4 |- (B = if(B e. CH, B, ~H) -> (B vH C) = (if(B e. CH, B, ~H) vH C))
87opreq2d 4994 . . 3 |- (B = if(B e. CH, B, ~H) -> (if(A e. CH, A, ~H) vH (B vH C)) = (if(A e. CH, A, ~H) vH (if(B e. CH, B, ~H) vH C)))
96, 8eqeq12d 2155 . 2 |- (B = if(B e. CH, B, ~H) -> (((if(A e. CH, A, ~H) vH B) vH C) = (if(A e. CH, A, ~H) vH (B vH C)) <-> ((if(A e. CH, A, ~H) vH if(B e. CH, B, ~H)) vH C) = (if(A e. CH, A, ~H) vH (if(B e. CH, B, ~H) vH C))))
10 opreq2 4987 . . 3 |- (C = if(C e. CH, C, ~H) -> ((if(A e. CH, A, ~H) vH if(B e. CH, B, ~H)) vH C) = ((if(A e. CH, A, ~H) vH if(B e. CH, B, ~H)) vH if(C e. CH, C, ~H)))
11 opreq2 4987 . . . 4 |- (C = if(C e. CH, C, ~H) -> (if(B e. CH, B, ~H) vH C) = (if(B e. CH, B, ~H) vH if(C e. CH, C, ~H)))
1211opreq2d 4994 . . 3 |- (C = if(C e. CH, C, ~H) -> (if(A e. CH, A, ~H) vH (if(B e. CH, B, ~H) vH C)) = (if(A e. CH, A, ~H) vH (if(B e. CH, B, ~H) vH if(C e. CH, C, ~H))))
1310, 12eqeq12d 2155 . 2 |- (C = if(C e. CH, C, ~H) -> (((if(A e. CH, A, ~H) vH if(B e. CH, B, ~H)) vH C) = (if(A e. CH, A, ~H) vH (if(B e. CH, B, ~H) vH C)) <-> ((if(A e. CH, A, ~H) vH if(B e. CH, B, ~H)) vH if(C e. CH, C, ~H)) = (if(A e. CH, A, ~H) vH (if(B e. CH, B, ~H) vH if(C e. CH, C, ~H)))))
14 helch 11583 . . . 4 |- ~H e. CH
1514elimel 3219 . . 3 |- if(A e. CH, A, ~H) e. CH
1614elimel 3219 . . 3 |- if(B e. CH, B, ~H) e. CH
1714elimel 3219 . . 3 |- if(C e. CH, C, ~H) e. CH
1815, 16, 17chjassi 11876 . 2 |- ((if(A e. CH, A, ~H) vH if(B e. CH, B, ~H)) vH if(C e. CH, C, ~H)) = (if(A e. CH, A, ~H) vH (if(B e. CH, B, ~H) vH if(C e. CH, C, ~H)))
194, 9, 13, 18dedth3h 3210 1 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> ((A vH B) vH C) = (A vH (B vH C)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 1102   = wceq 1586   e. wcel 1588  ifcif 3180  (class class class)co 4981  ~Hchil 11258  CHcch 11268   vH chj 11272
This theorem is referenced by:  chj12 11924  chj4 11925  mdsl1i 12724  mdexchi 12738  cvexchlem 12771  atcvat3i 12799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1590  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-13 1599  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-rep 3596  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687  ax-un 3929  ax-reg 5928  ax-inf2 5964  ax-ac 6314  ax-hilex 11339  ax-hfvadd 11340  ax-hvcom 11341  ax-hvass 11342  ax-hv0cl 11343  ax-hvaddid 11344  ax-hfvmul 11345  ax-hvmulid 11346  ax-hvmulass 11347  ax-hvdistr1 11348  ax-hvdistr2 11349  ax-hvmul0 11350  ax-hfi 11416  ax-his1 11419  ax-his2 11420  ax-his3 11421  ax-his4 11422  ax-hcompl 11540
This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-3or 1103  df-3an 1104  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-nel 2269  df-ral 2359  df-rex 2360  df-reu 2361  df-rab 2362  df-v 2540  df-sbc 2700  df-csb 2774  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-pss 2838  df-nul 3083  df-if 3181  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-tp 3245  df-op 3246  df-uni 3367  df-int 3401  df-iun 3438  df-iin 3439  df-br 3508  df-opab 3566  df-tr 3580  df-eprel 3744  df-id 3747  df-po 3752  df-so 3764  df-fr 3782  df-we 3798  df-ord 3814  df-on 3815  df-lim 3816  df-suc 3817  df-om 4086  df-xp 4133  df-rel 4134  df-cnv 4135  df-co 4136  df-dm 4137  df-rn 4138  df-res 4139  df-ima 4140  df-fun 4141  df-fn 4142  df-f 4143  df-f1 4144  df-fo 4145  df-f1o 4146  df-fv 4147  df-opr 4983  df-oprab 4984  df-mpt 5099  df-1st 5126  df-2nd 5127  df-iota 5219  df-rdg 5304  df-1o 5344  df-oadd 5346  df-omul 5347  df-er 5479  df-ec 5481  df-qs 5484  df-map 5544  df-en 5588  df-dom 5589  df-sdom 5590  df-undef 5725  df-riota 5729  df-sup 5888  df-r1 5986  df-rank 5987  df-ni 6518  df-pli 6519  df-mi 6520  df-lti 6521  df-plpq 6553  df-mpq 6554  df-enq 6555  df-nq 6556  df-plq 6557  df-mq 6558  df-rq 6559  df-ltq 6560  df-1q 6561  df-np 6604  df-1p 6605  df-plp 6606  df-mp 6607  df-ltp 6608  df-plpr 6682  df-mpr 6683  df-enr 6684  df-nr 6685  df-plr 6686  df-mr 6687  df-ltr 6688  df-0r 6689  df-1r 6690  df-m1r 6691  df-c 6758  df-0 6759  df-1 6760  df-i 6761  df-r 6762  df-plus 6763  df-mul 6764  df-lt 6765  df-pnf 6846  df-mnf 6847  df-xr 6848  df-ltxr 6849  df-le 6850  df-sub 7009  df-neg 7011  df-div 7223  df-n 7441  df-2 7487  df-3 7488  df-4 7489  df-n0 7649  df-z 7686  df-q 7782  df-fl 7809  df-ioo 7874  df-uz 7934  df-fz 7999  df-seq1 8094  df-shft 8129  df-seqz 8151  df-exp 8196  df-sqr 8304  df-re 8385  df-im 8386  df-cj 8387  df-abs 8388  df-clim 8631  df-sum 8636  df-top 9692  df-bases 9694  df-topgen 9695  df-cld 9800  df-ntr 9801  df-cls 9802  df-cn 9896  df-cnp 9897  df-haus 9925  df-met 9936  df-bl 9938  df-opn 9939  df-lm 10066  df-grpo 10182  df-gid 10183  df-ginv 10184  df-gdiv 10185  df-ablo 10277  df-vc 10366  df-nv 10412  df-va 10415  df-ba 10416  df-sm 10417  df-0v 10418  df-vs 10419  df-nm 10420  df-ims 10421  df-ip 10558  df-ph 10682  df-hnorm 11307  df-hvsub 11310  df-hlim 11311  df-hcau 11312  df-sh 11545  df-ch 11559  df-oc 11591  df-ch0 11592  df-shsum 11740  df-chj 11742
Copyright terms: Public domain