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Theorem chpchtlim 21134
Description: The ψ and  theta functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either 
theta ( x )  /  x 
~~> r  1 or ψ ( x )  /  x  ~~> r  1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtlim  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem chpchtlim
StepHypRef Expression
1 1re 9054 . . . 4  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
31a1i 11 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
4 2re 10033 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
5 elicopnf 10964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
76simplbi 447 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
87adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
9 0re 9055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  e.  RR )
12 2pos 10046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  2 )
146simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
1510, 11, 7, 13, 14ltletrd 9194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
167, 15elrpd 10610 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
1716adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1817rpge0d 10616 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  0  <_  x )
198, 18resqrcld 12183 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
2017relogcld 20479 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2119, 20remulcld 9080 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
2214adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  2  <_  x )
23 chtrpcl 20919 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
248, 22, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
2521, 24rerpdivcld 10639 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
)  e.  RR )
267ssriv 3320 . . . . . 6  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR
272recnd 9078 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
28 rlimconst 12301 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 [,)  +oo )  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  1 )  ~~> r  1 )
2926, 27, 28sylancr 645 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  1 )  ~~> r  1 )
30 ovex 6073 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 [,)  +oo )  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  e.  _V )
328, 24rerpdivcld 10639 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
x  /  ( theta `  x ) )  e.  RR )
33 ovex 6073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x )  e.  _V
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x )  e.  _V )
35 eqidd 2413 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x
) ) ) )
368recnd 9078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
37 cxpsqr 20555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^ c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
x  ^ c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
3938oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( log `  x )  /  ( sqr `  x
) ) )
4020recnd 9078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
4117rpsqrcld 12177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
4241rpcnne0d 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )
43 divcan5 9680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  (
( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( log `  x )  /  ( sqr `  x ) ) )
4440, 42, 42, 43syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( ( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( log `  x )  /  ( sqr `  x ) ) )
45 remsqsqr 12025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( ( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) )  =  x )
468, 18, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) )  =  x )
4746oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( ( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )
4839, 44, 473eqtr2d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) )
4948mpteq2dva 4263 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) ) )
5031, 32, 34, 35, 49offval2 6289 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( x  / 
( theta `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( log `  x )  /  (
x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( x  /  ( theta `  x
) )  x.  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) ) ) )
5117rpne0d 10617 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
5224rpcnne0d 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
5321recnd 9078 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
54 dmdcan 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0 )  /\  (
( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )  ->  (
( x  /  ( theta `  x ) )  x.  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )  =  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) )
5536, 51, 52, 53, 54syl211anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( x  /  ( theta `  x ) )  x.  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )  =  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) )
5655mpteq2dva 4263 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( x  / 
( theta `  x )
)  x.  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  ( theta `  x ) ) ) )
5750, 56eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( x  / 
( theta `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( log `  x )  /  (
x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  ( theta `  x ) ) ) )
58 chto1lb 21133 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x
) ) )  e.  O ( 1 )
5916ssriv 3320 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+ )
61 1rp 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
62 rphalfcl 10600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
64 cxploglim 20777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^ c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  ~~> r  0 )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^ c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  ~~> r  0
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) ) )  ~~> r  0 )
6760, 66rlimres2 12318 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) ) )  ~~> r  0 )
68 o1rlimmul 12375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O ( 1 )  /\  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^ c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  ~~> r  0 )  ->  ( ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x
) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^ c  ( 1  / 
2 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
6958, 67, 68sylancr 645 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( x  / 
( theta `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( log `  x )  /  (
x  ^ c  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
7057, 69eqbrtrrd 4202 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) ) )  ~~> r  0 )
713, 25, 29, 70rlimadd 12399 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )  ~~> r  ( 1  +  0 ) )
72 ax-1cn 9012 . . . . 5  |-  1  e.  CC
7372addid1i 9217 . . . 4  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7471, 73syl6breq 4219 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )  ~~> r  1 )
75 readdcl 9037 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) ) )  e.  RR )
761, 25, 75sylancr 645 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) )  e.  RR )
77 chpcl 20868 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
788, 77syl 16 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
7978, 24rerpdivcld 10639 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR )
80 chtcl 20853 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
818, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
82 readdcl 9037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  x )  +  ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
8381, 21, 82syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
844a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
85 1lt2 10106 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
861, 4, 85ltleii 9160 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  2
8786a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  2 )
883, 84, 8, 87, 22letrd 9191 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
89 chpub 20965 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  <_  ( ( theta `  x
)  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )
908, 88, 89syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (ψ `  x )  <_  (
( theta `  x )  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
9178, 83, 24, 90lediv1dd 10666 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  <_  (
( ( theta `  x
)  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  / 
( theta `  x )
) )
9224rpcnd 10614 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
93 divdir 9665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC  /\  ( ( theta `  x
)  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( theta `  x )  +  ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  /  ( theta `  x
) )  =  ( ( ( theta `  x
)  /  ( theta `  x ) )  +  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) ) ) )
9492, 53, 52, 93syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( theta `  x
)  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  / 
( theta `  x )
)  =  ( ( ( theta `  x )  /  ( theta `  x
) )  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )
95 divid 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
)  ->  ( ( theta `  x )  / 
( theta `  x )
)  =  1 )
9652, 95syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( theta `  x
) )  =  1 )
9796oveq1d 6063 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  ( theta `  x ) )  +  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) ) )  =  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )
9894, 97eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( theta `  x
)  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  / 
( theta `  x )
)  =  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  ( theta `  x ) ) ) )
9991, 98breqtrd 4204 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  <_  (
1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )
10099adantrr 698 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) )  <_ 
( 1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )
10192mulid2d 9070 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
1  x.  ( theta `  x ) )  =  ( theta `  x )
)
102 chtlepsi 20951 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  <_ 
(ψ `  x )
)
1038, 102syl 16 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( theta `  x )  <_ 
(ψ `  x )
)
104101, 103eqbrtrd 4200 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
1  x.  ( theta `  x ) )  <_ 
(ψ `  x )
)
1053, 78, 24lemuldivd 10657 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( 1  x.  ( theta `  x ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  1  <_  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )
106104, 105mpbid 202 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )
107106adantrr 698 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )
1082, 2, 74, 76, 79, 100, 107rlimsqz2 12407 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1 )
109108trud 1329 1  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Fcof 6270   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    +oocpnf 9081    < clt 9084    <_ cle 9085    / cdiv 9641   2c2 10013   RR+crp 10576   [,)cico 10882   sqrcsqr 12001    ~~> r crli 12242   O ( 1 )co1 12243   logclog 20413    ^ c ccxp 20414   thetaccht 20834  ψcchp 20836
This theorem is referenced by:  chpo1ub  21135  pnt2  21268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-o1 12247  df-lo1 12248  df-sum 12443  df-ef 12633  df-e 12634  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043  df-pc 13174  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-cxp 20416  df-cht 20840  df-vma 20841  df-chp 20842  df-ppi 20843
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