MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdifbndlem2 Unicode version

Theorem chpdifbndlem2 21209
Description: Lemma for chpdifbnd 21210. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdifbnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
chpdifbnd.1  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
chpdifbnd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
chpdifbnd.2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
chpdifbnd.c  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
chpdifbndlem2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x )
) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, x, y, z, C    ph, x, y    A, c    z, B
Allowed substitution hints:    ph( z, m, c)    A( x, y, z, m)    B( x, y, m, c)

Proof of Theorem chpdifbndlem2
StepHypRef Expression
1 chpdifbnd.c . . 3  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
2 chpdifbnd.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 chpdifbnd.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4 1rp 10580 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
5 rpaddcl 10596 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
63, 4, 5sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
72, 6rpmulcld 10628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  RR+ )
87rpred 10612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
9 2rp 10581 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR+
10 rpmulcl 10597 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR+ )
119, 3, 10sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR+ )
1211rpred 10612 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
133relogcld 20479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
1412, 13remulcld 9080 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
158, 14readdcld 9079 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
16 00id 9205 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
17 0re 9055 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
197rpgt0d 10615 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  x.  ( A  + 
1 ) ) )
2011rprege0d 10619 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) ) )
21 log1 20441 . . . . . . . 8  |-  ( log `  1 )  =  0
22 chpdifbnd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
23 logleb 20459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A ) ) )
244, 3, 23sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A
) ) )
2522, 24mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  1
)  <_  ( log `  A ) )
2621, 25syl5eqbrr 4214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  A ) )
27 mulge0 9509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) )  /\  ( ( log `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  A ) ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
2820, 13, 26, 27syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) )
2918, 18, 8, 14, 19, 28ltleaddd 9610 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  0 )  <  ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) ) )
3016, 29syl5eqbrr 4214 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) ) )
3115, 30elrpd 10610 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR+ )
321, 31syl5eqel 2496 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
333adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
3422adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  1  <_  A )
352adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
36 chpdifbnd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
3736adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
38 simprl 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )
39 simprr 734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x )
) )
4033, 34, 35, 37, 1, 38, 39chpdifbndlem1 21208 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  (
(ψ `  y )  -  (ψ `  x )
)  <_  ( (
2  x.  ( y  -  x ) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x ) ) ) ) )
4140ralrimivva 2766 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. y  e.  (
x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
42 oveq1 6055 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) )  =  ( C  x.  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )
4342oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( 2  x.  (
y  -  x ) )  +  ( c  x.  ( x  / 
( log `  x
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  -  x ) )  +  ( C  x.  (
x  /  ( log `  x ) ) ) ) )
4443breq2d 4192 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )  <-> 
( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) ) )
45442ralbidv 2716 . . 3  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  (
1 (,)  +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x
) ) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )  <->  A. x  e.  (
1 (,)  +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x
) ) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) ) )
4645rspcev 3020 . 2  |-  ( ( C  e.  RR+  /\  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x )
) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
4732, 41, 46syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x )
) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    +oocpnf 9081    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   2c2 10013   RR+crp 10576   (,)cioo 10880   [,)cico 10882   [,]cicc 10883   ...cfz 11007   |_cfl 11164   abscabs 12002   sum_csu 12442   logclog 20413  Λcvma 20835  ψcchp 20836
This theorem is referenced by:  chpdifbnd  21210
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043  df-pc 13174  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-vma 20841  df-chp 20842
  Copyright terms: Public domain W3C validator