MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpo1ubb Unicode version

Theorem chpo1ubb 20646
Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ubb  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
)
Distinct variable group:    x, c

Proof of Theorem chpo1ubb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10380 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
21a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
3 1re 8853 . . . . 5  |-  1  e.  RR
43a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
5 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
65rpred 10406 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
7 chpcl 20378 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
86, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
98, 5rerpdivcld 10433 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
10 chpo1ub 20645 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
1110a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
129, 11o1lo1d 12029 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e. 
<_ O ( 1 ) )
13 chpcl 20378 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
1413ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
(ψ `  y )  e.  RR )
1514rehalfcld 9974 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( (ψ `  y
)  /  2 )  e.  RR )
166adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
17 chpeq0 20463 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
(ψ `  x )  =  0  <->  x  <  2 ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  =  0  <-> 
x  <  2 ) )
1918biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
(ψ `  x )  =  0 )
2019oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  =  ( 0  /  x ) )
215adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
2221rpcnd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  CC )
2321rpne0d 10411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  =/=  0 )
2422, 23div0d 9551 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  /  x )  =  0 )
2514ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
26 2rp 10375 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
2726a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR+ )
28 simprll 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
29 chpge0 20380 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
3028, 29syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
3125, 27, 30divge0d 10442 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  /  2 ) )
3224, 31eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  /  x )  <_ 
( (ψ `  y
)  /  2 ) )
3332adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( 0  /  x
)  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
3420, 33eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
358ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
3625adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  y )  e.  RR )
3726a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
2  e.  RR+ )
3816adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  ->  x  e.  RR )
39 chpge0 20380 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
4038, 39syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
0  <_  (ψ `  x
) )
4128adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
y  e.  RR )
42 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
4316, 28, 42ltled 8983 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
4443adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  ->  x  <_  y )
45 chpwordi 20411 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
4638, 41, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  <_  (ψ `  y )
)
47 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
2  <_  x )
4835, 36, 37, 38, 40, 46, 47lediv12ad 10461 . . . . 5  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
49 2re 9831 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
5049a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
5134, 48, 16, 50ltlecasei 8944 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
522, 4, 9, 12, 15, 51lo1bddrp 12015 . . 3  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
(ψ `  x )  /  x )  <_  c
)
5352trud 1314 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x
)  /  x )  <_  c
54 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
5554rpred 10406 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
5655, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
57 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR+ )
5857rpred 10406 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR )
5956, 58, 54ledivmul2d 10456 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  c  <->  (ψ `  x
)  <_  ( c  x.  x ) ) )
6059ralbidva 2572 . . 3  |-  ( c  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  c  <->  A. x  e.  RR+  (ψ `  x
)  <_  ( c  x.  x ) ) )
6160rexbiia 2589 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  c  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
) )
6253, 61mpbi 199 1  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   O (
1 )co1 11976  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem3  20744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-cht 20350  df-vma 20351  df-chp 20352  df-ppi 20353
  Copyright terms: Public domain W3C validator