MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpo1ubb Unicode version

Theorem chpo1ubb 21042
Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ubb  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
)
Distinct variable group:    x, c

Proof of Theorem chpo1ubb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10554 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
3 1re 9023 . . . . 5  |-  1  e.  RR
43a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
5 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
65rpred 10580 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
7 chpcl 20774 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
98, 5rerpdivcld 10607 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
10 chpo1ub 21041 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
129, 11o1lo1d 12260 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e. 
<_ O ( 1 ) )
13 chpcl 20774 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
1413ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
(ψ `  y )  e.  RR )
1514rehalfcld 10146 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( (ψ `  y
)  /  2 )  e.  RR )
166adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
17 chpeq0 20859 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
(ψ `  x )  =  0  <->  x  <  2 ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  =  0  <-> 
x  <  2 ) )
1918biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
(ψ `  x )  =  0 )
2019oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  =  ( 0  /  x ) )
215adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
2221rpcnd 10582 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  CC )
2321rpne0d 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  =/=  0 )
2422, 23div0d 9721 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  /  x )  =  0 )
2514ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
26 2rp 10549 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR+ )
28 simprll 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
29 chpge0 20776 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
3125, 27, 30divge0d 10616 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  /  2 ) )
3224, 31eqbrtrd 4173 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  /  x )  <_ 
( (ψ `  y
)  /  2 ) )
3332adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( 0  /  x
)  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
3420, 33eqbrtrd 4173 . . . . 5  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  x  <  2 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
358ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
3625adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  y )  e.  RR )
3726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
2  e.  RR+ )
3816adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  ->  x  e.  RR )
39 chpge0 20776 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
4038, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
0  <_  (ψ `  x
) )
4128adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
y  e.  RR )
42 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
4316, 28, 42ltled 9153 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
4443adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  ->  x  <_  y )
45 chpwordi 20807 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
4638, 41, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  <_  (ψ `  y )
)
47 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
2  <_  x )
4835, 36, 37, 38, 40, 46, 47lediv12ad 10635 . . . . 5  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  2  <_  x )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
49 2re 10001 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
5049a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
5134, 48, 16, 50ltlecasei 9114 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  ( (ψ `  y )  /  2
) )
522, 4, 9, 12, 15, 51lo1bddrp 12246 . . 3  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
(ψ `  x )  /  x )  <_  c
)
5352trud 1329 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x
)  /  x )  <_  c
54 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
5554rpred 10580 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
5655, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
57 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR+ )
5857rpred 10580 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR )
5956, 58, 54ledivmul2d 10630 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  c  <->  (ψ `  x
)  <_  ( c  x.  x ) ) )
6059ralbidva 2665 . . 3  |-  ( c  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  c  <->  A. x  e.  RR+  (ψ `  x
)  <_  ( c  x.  x ) ) )
6160rexbiia 2682 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( (ψ `  x )  /  x
)  <_  c  <->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
) )
6253, 61mpbi 200 1  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (ψ `  x )  <_  ( c  x.  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    / cdiv 9609   2c2 9981   RR+crp 10544   O (
1 )co1 12207  ψcchp 20742
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem3  21140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-o1 12211  df-lo1 12212  df-sum 12407  df-ef 12597  df-e 12598  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-dvds 12780  df-gcd 12934  df-prm 13007  df-pc 13138  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-log 20321  df-cxp 20322  df-cht 20746  df-vma 20747  df-chp 20748  df-ppi 20749
  Copyright terms: Public domain W3C validator