MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrcong Structured version   Unicode version

Theorem chrcong 16802
Description: If two integers are congruent relative to the ring characteristic, their images in the ring are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c  |-  C  =  (chr `  R )
chrid.l  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
chrid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
chrcong  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  ( M  -  N )  <->  ( L `  M )  =  ( L `  N ) ) )

Proof of Theorem chrcong
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( od
`  R )  =  ( od `  R
)
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 chrcl.c . . . . 5  |-  C  =  (chr `  R )
41, 2, 3chrval 16798 . . . 4  |-  ( ( od `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  C
54breq1i 4211 . . 3  |-  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  ||  ( M  -  N
)  <->  C  ||  ( M  -  N ) )
6 rnggrp 15661 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
763ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  R  e.  Grp )
8 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 2rngidcl 15676 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1093ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
11 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
12 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
13 eqid 2435 . . . . 5  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
14 chrid.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
158, 1, 13, 14odcong 15179 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( od
`  R ) `  ( 1r `  R ) )  ||  ( M  -  N )  <->  ( M
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) )
167, 10, 11, 12, 15syl112anc 1188 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( od `  R ) `  ( 1r `  R ) ) 
||  ( M  -  N )  <->  ( M
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) )
175, 16syl5bbr 251 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  ( M  -  N )  <->  ( M
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) )
18 eqid 2435 . . . . 5  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
19 chrid.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
2018, 19, 13, 2zrhmulg 16783 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L `  M )  =  ( M (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
21203adant3 977 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  M )  =  ( M (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
2218, 19, 13, 2zrhmulg 16783 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  N )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
23223adant2 976 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  N )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
2421, 23eqeq12d 2449 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L `  M
)  =  ( L `
 N )  <->  ( M
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r `  R ) ) ) )
2517, 24bitr4d 248 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  ( M  -  N )  <->  ( L `  M )  =  ( L `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    - cmin 9283   ZZcz 10274    || cdivides 12844   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677  .gcmg 14681   odcod 15155   Ringcrg 15652   1rcur 15654  ℂfldccnfld 16695   ZRHomczrh 16770  chrcchr 16772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-od 15159  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-cnfld 16696  df-zrh 16774  df-chr 16776
  Copyright terms: Public domain W3C validator