MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrdvds Unicode version

Theorem chrdvds 16482
Description: The  ZZ ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c  |-  C  =  (chr `  R )
chrid.l  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
chrid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
chrdvds  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  N  <->  ( L `  N )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem chrdvds
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( od
`  R )  =  ( od `  R
)
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 chrcl.c . . . . 5  |-  C  =  (chr `  R )
41, 2, 3chrval 16479 . . . 4  |-  ( ( od `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  C
54breq1i 4030 . . 3  |-  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  ||  N 
<->  C  ||  N )
6 rnggrp 15346 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  R  e.  Grp )
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 2rngidcl 15361 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
11 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 eqid 2283 . . . . 5  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
13 chrid.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
148, 1, 12, 13oddvds 14862 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  ||  N 
<->  ( N (.g `  R
) ( 1r `  R ) )  =  .0.  ) )
157, 10, 11, 14syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( od `  R ) `  ( 1r `  R ) ) 
||  N  <->  ( N
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
)
165, 15syl5bbr 250 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  N  <->  ( N
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
)
17 eqid 2283 . . . 4  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
18 chrid.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
1917, 18, 12, 2zrhmulg 16464 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  N )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
2019eqeq1d 2291 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L `  N
)  =  .0.  <->  ( N
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
)
2116, 20bitr4d 247 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  N  <->  ( L `  N )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ZZcz 10024    || cdivides 12531   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366   odcod 14840   Ringcrg 15337   1rcur 15339  ℂfldccnfld 16377   ZRHomczrh 16451  chrcchr 16453
This theorem is referenced by:  chrnzr  16484  chrrhm  16485  domnchr  16486  znchr  16516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-od 14844  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-chr 16457
  Copyright terms: Public domain W3C validator