MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrdvds Structured version   Unicode version

Theorem chrdvds 16802
Description: The  ZZ ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c  |-  C  =  (chr `  R )
chrid.l  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
chrid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
chrdvds  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  N  <->  ( L `  N )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem chrdvds
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( od
`  R )  =  ( od `  R
)
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 chrcl.c . . . . 5  |-  C  =  (chr `  R )
41, 2, 3chrval 16799 . . . 4  |-  ( ( od `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  C
54breq1i 4212 . . 3  |-  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  ||  N 
<->  C  ||  N )
6 rnggrp 15662 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  R  e.  Grp )
8 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 2rngidcl 15677 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 eqid 2436 . . . . 5  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
13 chrid.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
148, 1, 12, 13oddvds 15178 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) )  ||  N 
<->  ( N (.g `  R
) ( 1r `  R ) )  =  .0.  ) )
157, 10, 11, 14syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( od `  R ) `  ( 1r `  R ) ) 
||  N  <->  ( N
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
)
165, 15syl5bbr 251 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  N  <->  ( N
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
)
17 eqid 2436 . . . 4  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
18 chrid.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
1917, 18, 12, 2zrhmulg 16784 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  N )  =  ( N (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
2019eqeq1d 2444 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L `  N
)  =  .0.  <->  ( N
(.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
)
2116, 20bitr4d 248 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  N  <->  ( L `  N )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4205   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   ZZcz 10275    || cdivides 12845   Basecbs 13462   ↾s cress 13463   0gc0g 13716   Grpcgrp 14678  .gcmg 14682   odcod 15156   Ringcrg 15653   1rcur 15655  ℂfldccnfld 16696   ZRHomczrh 16771  chrcchr 16773
This theorem is referenced by:  chrnzr  16804  chrrhm  16805  domnchr  16806  znchr  16836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061  ax-addf 9062  ax-mulf 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-rp 10606  df-fz 11037  df-fl 11195  df-mod 11244  df-seq 11317  df-exp 11376  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-dvds 12846  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-starv 13537  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-unif 13545  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-mhm 14731  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-subg 14934  df-ghm 14997  df-od 15160  df-cmn 15407  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-cring 15657  df-ur 15658  df-rnghom 15812  df-subrg 15859  df-cnfld 16697  df-zrh 16775  df-chr 16777
  Copyright terms: Public domain W3C validator