HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chrelat2i Unicode version

Theorem chrelat2i 23053
Description: A consequence of relative atomicity. (Contributed by NM, 30-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chpssat.1  |-  A  e. 
CH
chpssat.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chrelat2i  |-  ( -.  A  C_  B  <->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem chrelat2i
StepHypRef Expression
1 nssinpss 3477 . . 3  |-  ( -.  A  C_  B  <->  ( A  i^i  B )  C.  A
)
2 chpssat.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
CH
3 chpssat.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
CH
42, 3chincli 22147 . . . . 5  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
54, 2chrelati 23052 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C.  A  ->  E. x  e. HAtoms  ( ( A  i^i  B )  C.  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  /\  ( ( A  i^i  B )  vH  x ) 
C_  A ) )
6 atelch 23032 . . . . . 6  |-  ( x  e. HAtoms  ->  x  e.  CH )
7 chlub 22196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  A  /\  x  C_  A )  <->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  C_  A
) )
84, 2, 7mp3an13 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( A  i^i  B )  C_  A  /\  x  C_  A )  <->  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  C_  A
) )
9 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  A  /\  x  C_  A )  ->  x  C_  A )
108, 9syl6bir 220 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( A  i^i  B )  vH  x ) 
C_  A  ->  x  C_  A ) )
1110adantld 453 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( A  i^i  B )  C.  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  /\  ( ( A  i^i  B )  vH  x ) 
C_  A )  ->  x  C_  A ) )
12 ssin 3467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  C_  B )  <->  x  C_  ( A  i^i  B ) )
1312notbii 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  C_  A  /\  x  C_  B )  <->  -.  x  C_  ( A  i^i  B ) )
14 chnle 22201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( -.  x  C_  ( A  i^i  B )  <-> 
( A  i^i  B
)  C.  ( ( A  i^i  B )  vH  x ) ) )
154, 14mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CH  ->  ( -.  x  C_  ( A  i^i  B )  <->  ( A  i^i  B )  C.  (
( A  i^i  B
)  vH  x )
) )
1613, 15syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CH  ->  ( -.  ( x  C_  A  /\  x  C_  B )  <-> 
( A  i^i  B
)  C.  ( ( A  i^i  B )  vH  x ) ) )
1716, 8anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( -.  ( x 
C_  A  /\  x  C_  B )  /\  (
( A  i^i  B
)  C_  A  /\  x  C_  A ) )  <-> 
( ( A  i^i  B )  C.  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  /\  ( ( A  i^i  B )  vH  x ) 
C_  A ) ) )
18 pm3.21 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  B  ->  (
x  C_  A  ->  ( x  C_  A  /\  x  C_  B ) ) )
19 orcom 376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  x  C_  B )  \/  -.  x  C_  A )  <->  ( -.  x  C_  A  \/  (
x  C_  A  /\  x  C_  B ) ) )
20 pm4.55 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( -.  ( x 
C_  A  /\  x  C_  B )  /\  x  C_  A )  <->  ( (
x  C_  A  /\  x  C_  B )  \/ 
-.  x  C_  A
) )
21 imor 401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  A  ->  ( x  C_  A  /\  x  C_  B ) )  <-> 
( -.  x  C_  A  \/  ( x  C_  A  /\  x  C_  B ) ) )
2219, 20, 213bitr4ri 269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  A  ->  ( x  C_  A  /\  x  C_  B ) )  <->  -.  ( -.  ( x 
C_  A  /\  x  C_  B )  /\  x  C_  A ) )
2318, 22sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  B  ->  -.  ( -.  ( x  C_  A  /\  x  C_  B )  /\  x  C_  A ) )
2423con2i 112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( x  C_  A  /\  x  C_  B
)  /\  x  C_  A
)  ->  -.  x  C_  B )
2524adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( x  C_  A  /\  x  C_  B
)  /\  ( ( A  i^i  B )  C_  A  /\  x  C_  A
) )  ->  -.  x  C_  B )
2617, 25syl6bir 220 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( A  i^i  B )  C.  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  /\  ( ( A  i^i  B )  vH  x ) 
C_  A )  ->  -.  x  C_  B ) )
2711, 26jcad 519 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( ( A  i^i  B )  C.  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  /\  ( ( A  i^i  B )  vH  x ) 
C_  A )  -> 
( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B
) ) )
286, 27syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  i^i  B ) 
C.  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  /\  (
( A  i^i  B
)  vH  x )  C_  A )  ->  (
x  C_  A  /\  -.  x  C_  B ) ) )
2928reximia 2724 . . . 4  |-  ( E. x  e. HAtoms  ( ( A  i^i  B )  C.  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  /\  ( ( A  i^i  B )  vH  x )  C_  A
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B
) )
305, 29syl 15 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C.  A  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B
) )
311, 30sylbi 187 . 2  |-  ( -.  A  C_  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B ) )
32 sstr2 3262 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  A  ->  ( A  C_  B  ->  x  C_  B ) )
3332com12 27 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  C_  A  ->  x 
C_  B ) )
3433ralrimivw 2703 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  ->  x  C_  B )
)
35 iman 413 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  A  ->  x 
C_  B )  <->  -.  (
x  C_  A  /\  -.  x  C_  B ) )
3635ralbii 2643 . . . . 5  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  ->  x  C_  B
)  <->  A. x  e. HAtoms  -.  (
x  C_  A  /\  -.  x  C_  B ) )
37 ralnex 2629 . . . . 5  |-  ( A. x  e. HAtoms  -.  ( x 
C_  A  /\  -.  x  C_  B )  <->  -.  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B
) )
3836, 37bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  ->  x  C_  B
)  <->  -.  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B
) )
3934, 38sylib 188 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  -.  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B ) )
4039con2i 112 . 2  |-  ( E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B )  ->  -.  A  C_  B )
4131, 40impbii 180 1  |-  ( -.  A  C_  B  <->  E. x  e. HAtoms  ( x  C_  A  /\  -.  x  C_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    i^i cin 3227    C_ wss 3228    C. wpss 3229  (class class class)co 5942   CHcch 21617    vH chj 21621  HAtomscat 21653
This theorem is referenced by:  chrelat2  23058
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cc 8148  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904  ax-hilex 21687  ax-hfvadd 21688  ax-hvcom 21689  ax-hvass 21690  ax-hv0cl 21691  ax-hvaddid 21692  ax-hfvmul 21693  ax-hvmulid 21694  ax-hvmulass 21695  ax-hvdistr1 21696  ax-hvdistr2 21697  ax-hvmul0 21698  ax-hfi 21766  ax-his1 21769  ax-his2 21770  ax-his3 21771  ax-his4 21772  ax-hcompl 21889
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-omul 6568  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-acn 7662  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-lm 17059  df-haus 17143  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cfil 18779  df-cau 18780  df-cmet 18781  df-grpo 20964  df-gid 20965  df-ginv 20966  df-gdiv 20967  df-ablo 21055  df-subgo 21075  df-vc 21210  df-nv 21256  df-va 21259  df-ba 21260  df-sm 21261  df-0v 21262  df-vs 21263  df-nmcv 21264  df-ims 21265  df-dip 21382  df-ssp 21406  df-ph 21499  df-cbn 21550  df-hnorm 21656  df-hba 21657  df-hvsub 21659  df-hlim 21660  df-hcau 21661  df-sh 21894  df-ch 21909  df-oc 21939  df-ch0 21940  df-shs 21995  df-span 21996  df-chj 21997  df-chsup 21998  df-cv 22967  df-at 23026
  Copyright terms: Public domain W3C validator