Theorem chrid 16771

Description: The canonical ZZ ring homomorphism applied to a ring's characteristic is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	|- C = (chr ` R )
chrid.l	|- L = ( ZRHom ` R )
chrid.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
chrid	|- ( R e. Ring -> ( L ` C ) = .0. )

Proof of Theorem chrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chrcl.c	. . . . 5 |- C = (chr ` R )
2	1	chrcl 16770	. . . 4 |- ( R e. Ring -> C e. NN0 )
3	2	nn0zd 10337	. . 3 |- ( R e. Ring -> C e. ZZ )
4		eqid 2412	. . . 4 |- (ℂfld ↾s ZZ ) = (ℂfld ↾s ZZ )
5		chrid.l	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` R )
6		eqid 2412	. . . 4 |- (.g ` R ) = (.g ` R )
7		eqid 2412	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8	4, 5, 6, 7	zrhmulg 16754	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ C e. ZZ ) -> ( L ` C ) = ( C (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
9	3, 8	mpdan 650	. 2 |- ( R e. Ring -> ( L ` C ) = ( C (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
10		eqid 2412	. . . . 5 |- ( od ` R ) = ( od ` R )
11	10, 7, 1	chrval 16769	. . . 4 |- ( ( od ` R ) ` ( 1r ` R ) ) = C
12	11	oveq1i 6058	. . 3 |- ( ( ( od ` R ) ` ( 1r ` R ) ) (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( C (.g ` R ) ( 1r ` R ) )
13		eqid 2412	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
14	13, 7	rngidcl 15647	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
15		chrid.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
16	13, 10, 6, 15	odid 15139	. . . 4 |- ( ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) -> ( ( ( od ` R ) ` ( 1r ` R ) ) (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
17	14, 16	syl 16	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( ( od ` R ) ` ( 1r ` R ) ) (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
18	12, 17	syl5eqr 2458	. 2 |- ( R e. Ring -> ( C (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
19	9, 18	eqtrd 2444	1 |- ( R e. Ring -> ( L ` C ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   ZZcz 10246   Basecbs 13432   ↾_s cress 13433   0gc0g 13686  ._gcmg 14652   odcod 15126   Ringcrg 15623   1rcur 15625  ℂ_fldccnfld 16666   ZRHomczrh 16741  chrcchr 16743

This theorem is referenced by:  chrrhm  16775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-addf 9033  ax-mulf 9034

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-seq 11287  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-od 15130  df-cmn 15377  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-rnghom 15782  df-subrg 15829  df-cnfld 16667  df-zrh 16745  df-chr 16747