MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrid Unicode version

Theorem chrid 16771
Description: The canonical  ZZ ring homomorphism applied to a ring's characteristic is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c  |-  C  =  (chr `  R )
chrid.l  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
chrid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
chrid  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 C )  =  .0.  )

Proof of Theorem chrid
StepHypRef Expression
1 chrcl.c . . . . 5  |-  C  =  (chr `  R )
21chrcl 16770 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  C  e. 
NN0 )
32nn0zd 10337 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  C  e.  ZZ )
4 eqid 2412 . . . 4  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
5 chrid.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
6 eqid 2412 . . . 4  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
7 eqid 2412 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
84, 5, 6, 7zrhmulg 16754 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( L `  C )  =  ( C (.g `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
93, 8mpdan 650 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 C )  =  ( C (.g `  R
) ( 1r `  R ) ) )
10 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( od
`  R )  =  ( od `  R
)
1110, 7, 1chrval 16769 . . . 4  |-  ( ( od `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  C
1211oveq1i 6058 . . 3  |-  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) ) (.g `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( C (.g `  R ) ( 1r
`  R ) )
13 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1413, 7rngidcl 15647 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
15 chrid.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
1613, 10, 6, 15odid 15139 . . . 4  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
( od `  R
) `  ( 1r `  R ) ) (.g `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  .0.  )
1714, 16syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ( od `  R
) `  ( 1r `  R ) ) (.g `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  .0.  )
1812, 17syl5eqr 2458 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( C (.g `  R ) ( 1r `  R ) )  =  .0.  )
199, 18eqtrd 2444 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 C )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   ZZcz 10246   Basecbs 13432   ↾s cress 13433   0gc0g 13686  .gcmg 14652   odcod 15126   Ringcrg 15623   1rcur 15625  ℂfldccnfld 16666   ZRHomczrh 16741  chrcchr 16743
This theorem is referenced by:  chrrhm  16775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-seq 11287  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-od 15130  df-cmn 15377  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-rnghom 15782  df-subrg 15829  df-cnfld 16667  df-zrh 16745  df-chr 16747
  Copyright terms: Public domain W3C validator