Theorem chrid 16813

Description: The canonical ZZ ring homomorphism applied to a ring's characteristic is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	|- C = (chr ` R )
chrid.l	|- L = ( ZRHom ` R )
chrid.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
chrid	|- ( R e. Ring -> ( L ` C ) = .0. )

Proof of Theorem chrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chrcl.c	. . . . 5 |- C = (chr ` R )
2	1	chrcl 16812	. . . 4 |- ( R e. Ring -> C e. NN0 )
3	2	nn0zd 10378	. . 3 |- ( R e. Ring -> C e. ZZ )
4		eqid 2438	. . . 4 |- (ℂfld ↾s ZZ ) = (ℂfld ↾s ZZ )
5		chrid.l	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` R )
6		eqid 2438	. . . 4 |- (.g ` R ) = (.g ` R )
7		eqid 2438	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8	4, 5, 6, 7	zrhmulg 16796	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ C e. ZZ ) -> ( L ` C ) = ( C (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
9	3, 8	mpdan 651	. 2 |- ( R e. Ring -> ( L ` C ) = ( C (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) )
10		eqid 2438	. . . . 5 |- ( od ` R ) = ( od ` R )
11	10, 7, 1	chrval 16811	. . . 4 |- ( ( od ` R ) ` ( 1r ` R ) ) = C
12	11	oveq1i 6094	. . 3 |- ( ( ( od ` R ) ` ( 1r ` R ) ) (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( C (.g ` R ) ( 1r ` R ) )
13		eqid 2438	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
14	13, 7	rngidcl 15689	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
15		chrid.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
16	13, 10, 6, 15	odid 15181	. . . 4 |- ( ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) -> ( ( ( od ` R ) ` ( 1r ` R ) ) (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
17	14, 16	syl 16	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( ( od ` R ) ` ( 1r ` R ) ) (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
18	12, 17	syl5eqr 2484	. 2 |- ( R e. Ring -> ( C (.g ` R ) ( 1r ` R ) ) = .0. )
19	9, 18	eqtrd 2470	1 |- ( R e. Ring -> ( L ` C ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1653   e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ZZcz 10287   Basecbs 13474   ↾_s cress 13475   0gc0g 13728  ._gcmg 14694   odcod 15168   Ringcrg 15665   1rcur 15667  ℂ_fldccnfld 16708   ZRHomczrh 16783  chrcchr 16785

This theorem is referenced by:  chrrhm  16817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-addf 9074  ax-mulf 9075

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-od 15172  df-cmn 15419  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-rnghom 15824  df-subrg 15871  df-cnfld 16709  df-zrh 16787  df-chr 16789