MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrnzr Unicode version

Theorem chrnzr 16500
Description: Nonzero rings are precisely those with characteristic not 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
chrnzr  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e. NzRing 
<->  (chr `  R )  =/=  1 ) )

Proof of Theorem chrnzr
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 16027 . . 3  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
43baib 871 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e. NzRing 
<->  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
5 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (chr `  R )  =  (chr
`  R )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
86, 7, 2chrdvds 16498 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
(chr `  R )  ||  1  <->  ( ( ZRHom `  R ) `  1
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
95, 8mpan2 652 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  ||  1 
<->  ( ( ZRHom `  R ) `  1
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
106chrcl 16496 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (chr `  R )  e.  NN0 )
11 dvds1 12593 . . . . 5  |-  ( (chr
`  R )  e. 
NN0  ->  ( (chr `  R )  ||  1  <->  (chr
`  R )  =  1 ) )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  ||  1 
<->  (chr `  R )  =  1 ) )
137, 1zrh1 16483 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ZRHom `  R ) `  1 )  =  ( 1r `  R
) )
1413eqeq1d 2304 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( ( ZRHom `  R
) `  1 )  =  ( 0g `  R )  <->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) ) )
159, 12, 143bitr3d 274 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =  1  <->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) ) )
1615necon3bid 2494 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (chr
`  R )  =/=  1  <->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
174, 16bitr4d 247 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e. NzRing 
<->  (chr `  R )  =/=  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   1c1 8754   NN0cn0 9981   ZZcz 10040    || cdivides 12547   0gc0g 13416   Ringcrg 15353   1rcur 15355  NzRingcnzr 16025   ZRHomczrh 16467  chrcchr 16469
This theorem is referenced by:  domnchr  16502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-od 14860  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-nzr 16026  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-chr 16473
  Copyright terms: Public domain W3C validator