Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrrhm Unicode version

Theorem chrrhm 16737
 Description: The characteristic restriction on ring homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
chrrhm RingHom chr chr

Proof of Theorem chrrhm
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 15751 . . . . . . 7 RingHom
2 eqid 2389 . . . . . . . 8 flds flds
3 eqid 2389 . . . . . . . 8 RHom RHom
42, 3zrhrhm 16718 . . . . . . 7 RHom flds RingHom
51, 4syl 16 . . . . . 6 RingHom RHom flds RingHom
6 zsscn 10224 . . . . . . . 8
7 cnfldbas 16632 . . . . . . . . 9 fld
82, 7ressbas2 13449 . . . . . . . 8 flds
96, 8ax-mp 8 . . . . . . 7 flds
10 eqid 2389 . . . . . . 7
119, 10rhmf 15756 . . . . . 6 RHom flds RingHom RHom
12 ffn 5533 . . . . . 6 RHom RHom
135, 11, 123syl 19 . . . . 5 RingHom RHom
14 eqid 2389 . . . . . . 7 chr chr
1514chrcl 16732 . . . . . 6 chr
16 nn0z 10238 . . . . . 6 chr chr
171, 15, 163syl 19 . . . . 5 RingHom chr
18 fvco2 5739 . . . . 5 RHom chr RHomchr RHomchr
1913, 17, 18syl2anc 643 . . . 4 RingHom RHomchr RHomchr
20 eqid 2389 . . . . . . 7
2114, 3, 20chrid 16733 . . . . . 6 RHomchr
221, 21syl 16 . . . . 5 RingHom RHomchr
2322fveq2d 5674 . . . 4 RingHom RHomchr
2419, 23eqtrd 2421 . . 3 RingHom RHomchr
25 rhmco 15761 . . . . . 6 RingHom RHom flds RingHom RHom flds RingHom
265, 25mpdan 650 . . . . 5 RingHom RHom flds RingHom
27 rhmrcl2 15752 . . . . . 6 RingHom
28 eqid 2389 . . . . . . 7 RHom RHom
292, 28zrhrhmb 16717 . . . . . 6 RHom flds RingHom RHom RHom
3027, 29syl 16 . . . . 5 RingHom RHom flds RingHom RHom RHom
3126, 30mpbid 202 . . . 4 RingHom RHom RHom
3231fveq1d 5672 . . 3 RingHom RHomchr RHomchr
33 rhmghm 15755 . . . 4 RingHom
34 eqid 2389 . . . . 5
3520, 34ghmid 14941 . . . 4
3633, 35syl 16 . . 3 RingHom
3724, 32, 363eqtr3d 2429 . 2 RingHom RHomchr
38 eqid 2389 . . . 4 chr chr
3938, 28, 34chrdvds 16734 . . 3 chr chr chr RHomchr
4027, 17, 39syl2anc 643 . 2 RingHom chr chr RHomchr
4137, 40mpbird 224 1 RingHom chr chr
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1649   wcel 1717   wss 3265   class class class wbr 4155   ccom 4824   wfn 5391  wf 5392  cfv 5396  (class class class)co 6022  cc 8923  cn0 10155  cz 10216   cdivides 12781  cbs 13398   ↾s cress 13399  c0g 13652   cghm 14932  crg 15589   RingHom crh 15746  ℂfldccnfld 16628  RHomczrh 16703  chrcchr 16705 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-dvds 12782  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-mhm 14667  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-mulg 14744  df-subg 14870  df-ghm 14933  df-od 15096  df-cmn 15343  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-cring 15593  df-ur 15594  df-rnghom 15748  df-subrg 15795  df-cnfld 16629  df-zrh 16707  df-chr 16709
 Copyright terms: Public domain W3C validator