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Theorem chscllem2 23097
Description: Lemma for chscl 23100. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CH )
chscl.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CH )
chscl.3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( _|_ `  A ) )
chscl.4  |-  ( ph  ->  H : NN --> ( A  +H  B ) )
chscl.5  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  u )
chscl.6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( proj  h `  A ) `  ( H `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
chscllem2  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
Distinct variable groups:    u, n, A    ph, n    B, n, u    n, H, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    F( u, n)

Proof of Theorem chscllem2
Dummy variables  j  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chscl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CH )
2 chscl.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CH )
3 chscl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ( _|_ `  A ) )
4 chscl.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> ( A  +H  B ) )
5 chscl.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  u )
6 chscl.6 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( proj  h `  A ) `  ( H `  n )
) )
71, 2, 3, 4, 5, 6chscllem1 23096 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> A )
8 chss 22689 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  ->  A  C_ 
~H )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ~H )
10 fss 5562 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> A  /\  A  C_  ~H )  ->  F : NN --> ~H )
117, 9, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
12 hlimcaui 22696 . . . . . . 7  |-  ( H 
~~>v  u  ->  H  e.  Cauchy )
135, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Cauchy )
14 hcaucvg 22645 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  Cauchy  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )
1513, 14sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )
16 nnuz 10481 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1716uztrn2 10463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
1817adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  k  e.  NN )
19 chsh 22684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  CH  ->  A  e.  SH )
201, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  e.  SH )
21 chsh 22684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( B  e.  CH  ->  B  e.  SH )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  SH )
23 shscl 22777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )
2420, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )
25 shss 22669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +H  B )  e.  SH  ->  ( A  +H  B )  C_  ~H )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  C_  ~H )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A  +H  B )  C_  ~H )
284ffvelrnda 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  e.  ( A  +H  B
) )
2927, 28sseldd 3313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  e. 
~H )
3029adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( H `  j
)  e.  ~H )
31 fss 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( H : NN --> ( A  +H  B )  /\  ( A  +H  B
)  C_  ~H )  ->  H : NN --> ~H )
324, 26, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  H : NN --> ~H )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  H : NN --> ~H )
34 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
k  e.  NN )
3533, 34ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( H `  k
)  e.  ~H )
36 hvsubcl 22477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( H `  j
)  e.  ~H  /\  ( H `  k )  e.  ~H )  -> 
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H )
3730, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H )
389adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A  C_  ~H )
397ffvelrnda 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e.  A )
4038, 39sseldd 3313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 j )  e. 
~H )
4140adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  j
)  e.  ~H )
429adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  A  C_  ~H )
437adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  F : NN --> A )
4443, 34ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  e.  A )
4542, 44sseldd 3313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ~H )
46 hvsubcl 22477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ~H  /\  ( F `  k )  e.  ~H )  -> 
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H )
4741, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H )
48 hvsubcl 22477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H  /\  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ~H )
4937, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ~H )
50 normcl 22584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) )  e.  RR )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) )  e.  RR )
5251sqge0d 11509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( ( normh `  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ) ^
2 ) )
53 normcl 22584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
5447, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  RR )
5554resqcld 11508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
5651resqcld 11508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
5755, 56addge01d 9574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( 0  <_  (
( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 )  <->  ( ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  <_  (
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
5852, 57mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( (
normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) )
5920adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  A  e.  SH )
6039adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( F `  j
)  e.  A )
61 shsubcl 22680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( F `  j )  e.  A  /\  ( F `  k )  e.  A )  ->  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  A )
6259, 60, 44, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  A )
63 hvsubsub4 22519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( H `  j )  e.  ~H  /\  ( H `  k
)  e.  ~H )  /\  ( ( F `  j )  e.  ~H  /\  ( F `  k
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  =  ( ( ( H `
 j )  -h  ( F `  j
) )  -h  (
( H `  k
)  -h  ( F `
 k ) ) ) )
6430, 35, 41, 45, 63syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  =  ( ( ( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) )  -h  ( ( H `
 k )  -h  ( F `  k
) ) ) )
65 ocsh 22742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
6642, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( _|_ `  A
)  e.  SH )
67 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  j  ->  ( H `  n )  =  ( H `  j ) )
6867fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  j  ->  (
( proj  h `  A
) `  ( H `  n ) )  =  ( ( proj  h `  A ) `  ( H `  j )
) )
69 fvex 5705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 ( H `  j ) )  e. 
_V
7068, 6, 69fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( ( proj 
h `  A ) `  ( H `  j
) ) )
7170eqcomd 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( proj  h `  A
) `  ( H `  j ) )  =  ( F `  j
) )
7271adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
proj  h `  A ) `
 ( H `  j ) )  =  ( F `  j
) )
731adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A  e. 
CH )
749, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( _|_ `  A
)  e.  SH )
75 shless 22818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  e.  SH  /\  ( _|_ `  A
)  e.  SH  /\  A  e.  SH )  /\  B  C_  ( _|_ `  A ) )  -> 
( B  +H  A
)  C_  ( ( _|_ `  A )  +H  A ) )
7622, 74, 20, 3, 75syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( B  +H  A
)  C_  ( ( _|_ `  A )  +H  A ) )
77 shscom 22778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )
7820, 22, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )
79 shscom 22778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( _|_ `  A )  e.  SH )  -> 
( A  +H  ( _|_ `  A ) )  =  ( ( _|_ `  A )  +H  A
) )
8020, 74, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( A  +H  ( _|_ `  A ) )  =  ( ( _|_ `  A )  +H  A
) )
8176, 78, 803sstr4d 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( A  +H  B
)  C_  ( A  +H  ( _|_ `  A
) ) )
8281adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A  +H  B )  C_  ( A  +H  ( _|_ `  A ) ) )
8382, 28sseldd 3313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 j )  e.  ( A  +H  ( _|_ `  A ) ) )
84 pjpreeq 22857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( H `  j )  e.  ( A  +H  ( _|_ `  A ) ) )  ->  (
( ( proj  h `  A ) `  ( H `  j )
)  =  ( F `
 j )  <->  ( ( F `  j )  e.  A  /\  E. x  e.  ( _|_ `  A
) ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) ) ) )
8573, 83, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( proj  h `  A
) `  ( H `  j ) )  =  ( F `  j
)  <->  ( ( F `
 j )  e.  A  /\  E. x  e.  ( _|_ `  A
) ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) ) ) )
8672, 85mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `  j )  e.  A  /\  E. x  e.  ( _|_ `  A ) ( H `
 j )  =  ( ( F `  j )  +h  x
) ) )
8786simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) )
8829adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  ( H `  j )  e.  ~H )
8940adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  ( F `  j )  e.  ~H )
90 shss 22669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
9174, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( _|_ `  A
)  C_  ~H )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
9392sselda 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  x  e.  ~H )
94 hvsubadd 22536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( H `  j
)  e.  ~H  /\  ( F `  j )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  =  x  <->  ( ( F `  j )  +h  x )  =  ( H `  j ) ) )
9588, 89, 93, 94syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  =  x  <->  ( ( F `  j )  +h  x )  =  ( H `  j ) ) )
96 eqcom 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( ( H `
 j )  -h  ( F `  j
) )  <->  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j
) )  =  x )
97 eqcom 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( H `  j )  =  ( ( F `
 j )  +h  x )  <->  ( ( F `  j )  +h  x )  =  ( H `  j ) )
9895, 96, 973bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  =  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j ) )  <->  ( H `  j )  =  ( ( F `  j
)  +h  x ) ) )
9998rexbidva 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  A ) x  =  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  <->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) ( H `  j
)  =  ( ( F `  j )  +h  x ) ) )
10087, 99mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( _|_ `  A
) x  =  ( ( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) ) )
101 risset 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) )  e.  ( _|_ `  A
)  <->  E. x  e.  ( _|_ `  A ) x  =  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j ) ) )
102100, 101sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j ) )  e.  ( _|_ `  A
) )
103102adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A ) )
104 eleq1 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
105104anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  /\  j  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
106 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  =  k  ->  ( H `  j )  =  ( H `  k ) )
107 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
108106, 107oveq12d 6062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  k  ->  (
( H `  j
)  -h  ( F `
 j ) )  =  ( ( H `
 k )  -h  ( F `  k
) ) )
109108eleq1d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A )  <->  ( ( H `  k )  -h  ( F `  k
) )  e.  ( _|_ `  A ) ) )
110105, 109imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A ) )  <->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H `
 k )  -h  ( F `  k
) )  e.  ( _|_ `  A ) ) ) )
111110, 102chvarv 2067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H `  k )  -h  ( F `  k ) )  e.  ( _|_ `  A
) )
112111adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( H `  k )  -h  ( F `  k )
)  e.  ( _|_ `  A ) )
113 shsubcl 22680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  SH  /\  ( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  e.  ( _|_ `  A )  /\  (
( H `  k
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( ( H `  j )  -h  ( F `  j )
)  -h  ( ( H `  k )  -h  ( F `  k ) ) )  e.  ( _|_ `  A
) )
11466, 103, 112, 113syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( F `  j
) )  -h  (
( H `  k
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ( _|_ `  A ) )
11564, 114eqeltrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ( _|_ `  A ) )
116 shocorth 22751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  SH  ->  (
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  e.  A  /\  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ( _|_ `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  .ih  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  0 ) )
11759, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) )  e.  A  /\  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  .ih  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) )  =  0 ) )
11862, 115, 117mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  .ih  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  0 )
119 normpyth 22604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) )  .ih  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
12047, 49, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) )  .ih  ( ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) )  -h  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
121118, 120mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  +h  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ^ 2 ) ) )
122 hvpncan3 22501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  e.  ~H  /\  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) ) )
12347, 37, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) )  +h  (
( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
)  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) ) )
124123fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  +h  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ) )  =  ( normh `  (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) ) ) )
125124oveq1d 6059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
)  +h  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  -h  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) ) ^ 2 ) )
126121, 125eqtr3d 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( ( H `  j )  -h  ( H `  k ) )  -h  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( normh `  (
( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) ) ) ^ 2 ) )
12758, 126breqtrd 4200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) ) ^ 2 ) )
128 normcl 22584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) )  e.  RR )
12937, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  e.  RR )
130 normge0 22585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) ) )
13147, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) ) )
132 normge0 22585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  j
)  -h  ( H `
 k ) )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) ) )
13337, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) ) )
13454, 129, 131, 133le2sqd 11517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( normh `  (
( F `  j
)  -h  ( F `
 k ) ) )  <_  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  <->  ( ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) ) ^
2 )  <_  (
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) ) ^
2 ) ) )
135127, 134mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  <_ 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) ) )
136135adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <_  ( normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) ) )
13754adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  e.  RR )
138129adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  e.  RR )
139 rpre 10578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
140139ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  x  e.  RR )
141 lelttr 9125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  e.  RR  /\  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( (
normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  <_ 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  /\  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
142137, 138, 140, 141syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  <_ 
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  /\  ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x )  ->  ( normh `  ( ( F `
 j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
143136, 142mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( ( normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <  x
) )
144143anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  <  x  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
14518, 144syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k )
) )  <  x  ->  ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
146145ralimdva 2748 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
normh `  ( ( H `
 j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
147146reximdva 2782 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( H `  j )  -h  ( H `  k
) ) )  < 
x  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x ) )
14815, 147mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k
) ) )  < 
x )
149148ralrimiva 2753 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <  x
)
150 hcau 22643 . . 3  |-  ( F  e.  Cauchy 
<->  ( F : NN --> ~H  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( normh `  ( ( F `  j )  -h  ( F `  k )
) )  <  x
) )
15111, 149, 150sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  Cauchy )
152 ax-hcompl 22661 . 2  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x )
153 hlimf 22697 . . . . 5  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
154 ffn 5554 . . . . 5  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  ->  ~~>v  Fn  dom  ~~>v  )
155153, 154ax-mp 8 . . . 4  |-  ~~>v  Fn  dom  ~~>v
156 fnbr 5510 . . . 4  |-  ( ( 
~~>v  Fn  dom  ~~>v  /\  F  ~~>v  x )  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
157155, 156mpan 652 . . 3  |-  ( F 
~~>v  x  ->  F  e.  dom 
~~>v  )
158157rexlimivw 2790 . 2  |-  ( E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
159151, 152, 1583syl 19 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>v  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   dom cdm 4841    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    < clt 9080    <_ cle 9081   NNcn 9960   2c2 10009   ZZ>=cuz 10448   RR+crp 10572   ^cexp 11341   ~Hchil 22379    +h cva 22380    .ih csp 22382   normhcno 22383    -h cmv 22385   Cauchyccau 22386    ~~>v chli 22387   SHcsh 22388   CHcch 22389   _|_cort 22390    +H cph 22391   proj  hcpjh 22397
This theorem is referenced by:  chscllem4  23099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvmulass 22467  ax-hvdistr1 22468  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544  ax-hcompl 22661
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-icc 10883  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-lm 17251  df-haus 17337  df-cau 19166  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ginv 21738  df-gdiv 21739  df-ablo 21827  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-vs 22035  df-nmcv 22036  df-ims 22037  df-hnorm 22428  df-hvsub 22431  df-hlim 22432  df-hcau 22433  df-sh 22666  df-ch 22681  df-oc 22711  df-ch0 22712  df-shs 22767  df-pjh 22854
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