HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chsscon3i Unicode version

Theorem chsscon3i 22812
Description: Hilbert lattice contraposition law. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1  |-  A  e. 
CH
chjcl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chsscon3i  |-  ( A 
C_  B  <->  ( _|_ `  B )  C_  ( _|_ `  A ) )

Proof of Theorem chsscon3i
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21chssii 22583 . . 3  |-  A  C_  ~H
3 chjcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43chssii 22583 . . 3  |-  B  C_  ~H
5 occon 22638 . . 3  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( A  C_  B  ->  ( _|_ `  B )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
62, 4, 5mp2an 654 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( _|_ `  B )  C_  ( _|_ `  A ) )
73choccli 22658 . . . . 5  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
87chssii 22583 . . . 4  |-  ( _|_ `  B )  C_  ~H
91choccli 22658 . . . . 5  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
109chssii 22583 . . . 4  |-  ( _|_ `  A )  C_  ~H
11 occon 22638 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  B
)  C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H )  ->  ( ( _|_ `  B ) 
C_  ( _|_ `  A
)  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) ) ) )
128, 10, 11mp2an 654 . . 3  |-  ( ( _|_ `  B ) 
C_  ( _|_ `  A
)  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) ) )
131pjococi 22788 . . 3  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A
143pjococi 22788 . . 3  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) )  =  B
1512, 13, 143sstr3g 3332 . 2  |-  ( ( _|_ `  B ) 
C_  ( _|_ `  A
)  ->  A  C_  B
)
166, 15impbii 181 1  |-  ( A 
C_  B  <->  ( _|_ `  B )  C_  ( _|_ `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1717    C_ wss 3264   ` cfv 5395   ~Hchil 22271   CHcch 22281   _|_cort 22282
This theorem is referenced by:  chsscon1i  22813  chcon3i  22817  chdmm1i  22828  chsscon3  22851  spansnpji  22929  pjoml3i  22937  pjss2i  23031  pjssmii  23032  pjocini  23049  mayetes3i  23081  pjnormssi  23520  stji1i  23594  mdsldmd1i  23683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvmulass 22359  ax-hvdistr1 22360  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his1 22433  ax-his2 22434  ax-his3 22435  ax-his4 22436  ax-hcompl 22553
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-lm 17216  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cfil 19080  df-cau 19081  df-cmet 19082  df-grpo 21628  df-gid 21629  df-ginv 21630  df-gdiv 21631  df-ablo 21719  df-subgo 21739  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-vs 21927  df-nmcv 21928  df-ims 21929  df-dip 22046  df-ssp 22070  df-ph 22163  df-cbn 22214  df-hnorm 22320  df-hba 22321  df-hvsub 22323  df-hlim 22324  df-hcau 22325  df-sh 22558  df-ch 22573  df-oc 22603  df-ch0 22604
  Copyright terms: Public domain W3C validator