MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cht1 Unicode version

Theorem cht1 20403
Description: The Chebyshev function at  1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cht1  |-  ( theta `  1 )  =  0

Proof of Theorem cht1
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . 3  |-  1  e.  RR
2 chtval 20348 . . 3  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( theta `  1 )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] 1
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( theta `  1 )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] 1
)  i^i  Prime ) ( log `  p )
4 ppisval 20341 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( 0 [,] 1
)  i^i  Prime )  =  ( ( 2 ... ( |_ `  1
) )  i^i  Prime ) )
51, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] 1 )  i^i  Prime )  =  ( ( 2 ... ( |_ `  1 ) )  i^i  Prime )
6 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
7 flid 10939 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( |_ `  1 )  =  1 )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  1 )  =  1
98oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( |_ ` 
1 ) )  =  ( 2 ... 1
)
10 1lt2 9886 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
11 2z 10054 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
12 fzn 10810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  2  <->  ( 2 ... 1 )  =  (/) ) )
1311, 6, 12mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( 1  <  2  <->  ( 2 ... 1 )  =  (/) )
1410, 13mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... 1 )  =  (/)
159, 14eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( 2 ... ( |_ ` 
1 ) )  =  (/)
1615ineq1i 3366 . . . . 5  |-  ( ( 2 ... ( |_
`  1 ) )  i^i  Prime )  =  (
(/)  i^i  Prime )
17 incom 3361 . . . . 5  |-  ( (/)  i^i 
Prime )  =  ( Prime  i^i  (/) )
18 in0 3480 . . . . 5  |-  ( Prime  i^i  (/) )  =  (/)
1916, 17, 183eqtri 2307 . . . 4  |-  ( ( 2 ... ( |_
`  1 ) )  i^i  Prime )  =  (/)
205, 19eqtri 2303 . . 3  |-  ( ( 0 [,] 1 )  i^i  Prime )  =  (/)
2120sumeq1i 12171 . 2  |-  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] 1 )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  =  sum_ p  e.  (/)  ( log `  p
)
22 sum0 12194 . 2  |-  sum_ p  e.  (/)  ( log `  p
)  =  0
233, 21, 223eqtri 2307 1  |-  ( theta `  1 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867   2c2 9795   ZZcz 10024   [,]cicc 10659   ...cfz 10782   |_cfl 10924   sum_csu 12158   Primecprime 12758   logclog 19912   thetaccht 20328
This theorem is referenced by:  cht2  20410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-prm 12759  df-cht 20334
  Copyright terms: Public domain W3C validator