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Theorem chtub 20998
Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtub  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  N )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )

Proof of Theorem chtub
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  N )  =  2  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  2 )
)
2 2re 10071 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
3 1lt2 10144 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
4 rplogcl 20501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
52, 3, 4mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
6 elrp 10616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  <->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
75, 6mpbi 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) )
87simpli 446 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR
98recni 9104 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  e.  CC
109mulid1i 9094 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  ( log `  2
)
11 cht2 20957 . . . . . 6  |-  ( theta `  2 )  =  ( log `  2
)
1210, 11eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  ( theta `  2 )
131, 12syl6reqr 2489 . . . 4  |-  ( ( |_ `  N )  =  2  ->  (
( log `  2
)  x.  1 )  =  ( theta `  ( |_ `  N ) ) )
14 chtfl 20934 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N )
)
1514adantr 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N )
)
1613, 15sylan9eqr 2492 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  (
theta `  N ) )
17 2t2e4 10129 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
18 df-4 10062 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1917, 18eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  ( 3  +  1 )
20 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  2  <  N )
212a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  2  e.  RR )
22 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  ->  N  e.  RR )
2322adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  N  e.  RR )
24 2pos 10084 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
252, 24pm3.2i 443 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
27 ltmul2 9863 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 2  < 
N  <->  ( 2  x.  2 )  <  (
2  x.  N ) ) )
2821, 23, 26, 27syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  <  N  <->  ( 2  x.  2 )  < 
( 2  x.  N
) ) )
2920, 28mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  x.  2 )  < 
( 2  x.  N
) )
3019, 29syl5eqbrr 4248 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 3  +  1 )  < 
( 2  x.  N
) )
31 3re 10073 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  3  e.  RR )
33 1re 9092 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  1  e.  RR )
35 remulcl 9077 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
362, 22, 35sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
3736adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
3832, 34, 37ltaddsub2d 9629 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( (
3  +  1 )  <  ( 2  x.  N )  <->  1  <  ( ( 2  x.  N
)  -  3 ) ) )
3930, 38mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  1  <  ( ( 2  x.  N
)  -  3 ) )
40 resubcl 9367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
4136, 31, 40sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
4241adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( (
2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
437a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
44 ltmul2 9863 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( 1  <  (
( 2  x.  N
)  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  1 )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
4534, 42, 43, 44syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 1  <  ( ( 2  x.  N )  - 
3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
4639, 45mpbid 203 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
4716, 46eqbrtrrd 4236 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( theta `  N )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
48 chtcl 20894 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
4948ad2antrr 708 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  e.  RR )
50 reflcl 11207 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
5150ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
52 remulcl 9077 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( |_ `  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  N ) )  e.  RR )
532, 51, 52sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  e.  RR )
54 resubcl 9367 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  N ) )  -  3 )  e.  RR )
5553, 31, 54sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  e.  RR )
56 remulcl 9077 . . . 4  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  e.  RR )
578, 55, 56sylancr 646 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  e.  RR )
5841adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  - 
3 )  e.  RR )
59 remulcl 9077 . . . 4  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) )  e.  RR )
608, 58, 59sylancr 646 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) )  e.  RR )
6115adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N
) )
62 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
63 df-3 10061 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6463fveq2i 5733 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  =  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
6562, 64syl6eleqr 2529 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  3 ) )
66 eluzfz2 11067 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( |_ `  N )  e.  ( 3 ... ( |_
`  N ) ) )
67 3nn 10136 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
6867nnzi 10307 . . . . . . 7  |-  3  e.  ZZ
69 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  3  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... 3
) )
7069raleqdv 2912 . . . . . . 7  |-  ( x  =  3  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... 3 ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
71 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... n
) )
7271raleqdv 2912 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
73 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... (
n  +  1 ) ) )
7473raleqdv 2912 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... ( n  + 
1 ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
75 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( |_ `  N )  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... ( |_ `  N ) ) )
7675raleqdv 2912 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( |_ `  N )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... ( |_ `  N ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
77 6lt8 10166 . . . . . . . . . . 11  |-  6  <  8
78 6re 10078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  RR
79 6pos 10090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
8078, 79elrpii 10617 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR+
81 8re 10080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  RR
82 8pos 10092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  8
8381, 82elrpii 10617 . . . . . . . . . . . 12  |-  8  e.  RR+
84 logltb 20496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 6  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
6  <  8  <->  ( log `  6 )  <  ( log `  8 ) ) )
8580, 83, 84mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 6  <  8  <->  ( log `  6 )  <  ( log `  8 ) )
8677, 85mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  6 )  < 
( log `  8
)
8786a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( log `  6 )  < 
( log `  8
) )
88 elfz1eq 11070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  k  =  3 )
8988fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  3 )
)
90 cht3 20958 . . . . . . . . . 10  |-  ( theta `  3 )  =  ( log `  6
)
9189, 90syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  =  ( log `  6
) )
9288oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  3 ) )
9392oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  3 )  - 
3 ) )
94 3cn 10074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
95942timesi 10103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  +  3 )
9695oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  ( ( 3  +  3 )  -  3 )
97 pncan 9313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3 )
9894, 94, 97mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3
9996, 98eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  3
10093, 99syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  3 )
101100oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  3 ) )
102 2rp 10619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
103 relogcl 20475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
104102, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( log `  2 )  e.  RR
105104recni 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  CC
106105, 94mulcomi 9098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
107 relogexp 20492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
108102, 68, 107mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
109106, 108eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( log `  (
2 ^ 3 ) )
110 cu2 11481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
111110fveq2i 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( log `  8 )
112109, 111eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( log `  8
)
113101, 112syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( log `  8
) )
11487, 91, 1133brtr4d 4244 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
115114rgen 2773 . . . . . . 7  |-  A. k  e.  ( 3 ... 3
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )
116 df-2 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
117 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
118 2ne0 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =/=  0
119117, 118dividi 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  /  2 )  =  1
120 eluzle 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  n )
12163, 120syl5eqbrr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  +  1 )  <_  n )
122 2z 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ZZ
123 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  ZZ )
124 zltp1le 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  +  1 )  <_  n ) )
125122, 123, 124sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  +  1 )  <_  n ) )
126121, 125mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  n )
127 eluzelre 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  RR )
128 ltdiv1 9876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 2  < 
n  <->  ( 2  / 
2 )  <  (
n  /  2 ) ) )
1292, 25, 128mp3an13 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  RR  ->  (
2  <  n  <->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) ) )
130127, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) ) )
131126, 130mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) )
132119, 131syl5eqbrr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  ( n  /  2 ) )
133127rehalfcld 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  /  2 )  e.  RR )
134 ltadd1 9497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( n  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1  <  (
n  /  2 )  <-> 
( 1  +  1 )  <  ( ( n  /  2 )  +  1 ) ) )
13533, 33, 134mp3an13 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  2 )  e.  RR  ->  (
1  <  ( n  /  2 )  <->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
136133, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <  ( n  / 
2 )  <->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
137132, 136mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) )
138116, 137syl5eqbr 4247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  ( ( n  /  2
)  +  1 ) )
139138adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  <  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
140 peano2z 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  +  1 )  e.  ZZ )
141140adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ )
142 zltp1le 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( 2  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  <->  ( 2  +  1 )  <_  (
( n  /  2
)  +  1 ) ) )
143122, 141, 142sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  <  (
( n  /  2
)  +  1 )  <-> 
( 2  +  1 )  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) ) )
144139, 143mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  +  1 )  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
14563, 144syl5eqbr 4247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
3  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
14633a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  RR )
147 ltle 9165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( n  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( n  /  2
)  ->  1  <_  ( n  /  2 ) ) )
14833, 133, 147sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <  ( n  / 
2 )  ->  1  <_  ( n  /  2
) ) )
149132, 148mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <_  ( n  /  2 ) )
150146, 133, 133, 149leadd2dd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  1 )  <_ 
( ( n  / 
2 )  +  ( n  /  2 ) ) )
151127recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  CC )
1521512halvesd 10215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  ( n  / 
2 ) )  =  n )
153150, 152breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  1 )  <_  n )
154153adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  <_  n )
155 elfz 11051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <->  ( 3  <_  ( ( n  /  2 )  +  1 )  /\  (
( n  /  2
)  +  1 )  <_  n ) ) )
15668, 155mp3an2 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <-> 
( 3  <_  (
( n  /  2
)  +  1 )  /\  ( ( n  /  2 )  +  1 )  <_  n
) ) )
157140, 123, 156syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( n  /  2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <-> 
( 3  <_  (
( n  /  2
)  +  1 )  /\  ( ( n  /  2 )  +  1 )  <_  n
) ) )
158145, 154, 157mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n ) )
159 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) ) )
160 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
161160oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )
162161oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) )
163159, 162breq12d 4227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
164163rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) ) ) )
165158, 164syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
166133recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  /  2 )  e.  CC )
167166adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  /  2
)  e.  CC )
168 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
169 adddi 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( n  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  /  2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
170117, 168, 169mp3an13 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  / 
2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
171167, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  /  2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
172151adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
173 divcan2 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
174117, 118, 173mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  CC  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
175172, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  /  2 ) )  =  n )
176117mulid1i 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  1 )  =  2 )
178175, 177oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  /  2
) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( n  +  2 ) )
179171, 178eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( n  +  2 ) )
180179oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 )  =  ( ( n  +  2 )  -  3 ) )
181 2p1e3 10105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  +  1 )  =  3
18294, 117, 168, 181subaddrii 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  -  2 )  =  1
183182oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( n  -  1 )
184 subsub3 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  - 
3 ) )
18594, 117, 184mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  - 
3 ) )
186172, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  -  3 ) )
187183, 186syl5reqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  3 )  =  ( n  -  1 ) )
188180, 187eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 )  =  ( n  -  1 ) )
189188oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) ) )
190189breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) ) ) )
191141zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  RR )
192 chtcl 20894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  e.  RR )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  e.  RR )
194127adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  RR )
195 peano2rem 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
196194, 195syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  1 )  e.  RR )
197 remulcl 9077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( n  -  1
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
198104, 196, 197sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
199 remulcl 9077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( log `  2
)  x.  n )  e.  RR )
200104, 194, 199sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  n )  e.  RR )
201193, 198, 200ltadd1d 9621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( n  - 
1 ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) ) ) )
202105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
203196recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  1 )  e.  CC )
204202, 203, 172adddid 9114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( n  -  1 )  +  n ) )  =  ( ( ( log `  2 )  x.  ( n  - 
1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
205 adddi 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
206117, 168, 205mp3an13 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  CC  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
207172, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
208176oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 )
209207, 208syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
210209oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  =  ( ( ( 2  x.  n
)  +  2 )  -  3 ) )
211 zmulcl 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )
212122, 123, 211sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
213212zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
214213adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  CC )
215 subsub3 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  n
)  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  2 )  - 
3 ) )
21694, 117, 215mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  n
)  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  2 )  - 
3 ) )
217214, 216syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n
)  +  2 )  -  3 ) )
218182oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  n )  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  -  1 )
2191722timesd 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  n
)  =  ( n  +  n ) )
220219oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  1 )  =  ( ( n  +  n )  -  1 ) )
221168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
1  e.  CC )
222172, 172, 221addsubd 9434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  +  n )  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
223220, 222eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
224218, 223syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
225210, 217, 2243eqtr2rd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  - 
1 )  +  n
)  =  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )
226225oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( n  -  1 )  +  n ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
227204, 226eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) )
228227breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
229190, 201, 2283bitrd 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
230 elfzuz 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  ->  (
( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
231158, 230syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
232 nnuz 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
233232uztrn2 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  NN )
23467, 231, 233sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  NN )
235 chtublem 20997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
236234, 235syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
237179oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( n  +  2 )  -  1 ) )
238 addsubass 9317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( n  +  2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
239117, 168, 238mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( n  +  2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
240172, 239syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
241 2m1e1 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
242241oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( n  +  1 )
243240, 242syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  1 )  =  ( n  +  1 ) )
244237, 243eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( n  +  1 ) )
245244fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( theta `  (
n  +  1 ) ) )
246 pncan 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  -  1 )  =  ( n  /  2 ) )
247167, 168, 246sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( n  /  2 )  +  1 )  -  1 )  =  ( n  /  2 ) )
248247oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( log `  4 )  x.  ( n  /  2
) ) )
249 relogexp 20492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) ) )
250102, 122, 249mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) )
251 sq2 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
252251fveq2i 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( log `  4 )
253117, 105mulcomi 9098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( log `  2
)  x.  2 )
254250, 252, 2533eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  4 )  =  ( ( log `  2
)  x.  2 )
255254oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( log `  4 )  x.  ( n  / 
2 ) )  =  ( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  (
n  /  2 ) )
256117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  e.  CC )
257202, 256, 167mulassd 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  (
n  /  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) ) )
258255, 257syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( n  /  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
259175oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  n ) )
260248, 258, 2593eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  n ) )
261260oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
262236, 245, 2613brtr3d 4243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
263 peano2uz 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
264 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
265263, 264syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
266265zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
267266adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  +  1 )  e.  RR )
268 chtcl 20894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
269267, 268syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
270193, 200readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  e.  RR )
271 zmulcl 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
272122, 265, 271sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  ZZ )
273272zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
274 resubcl 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
275273, 31, 274sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
276275adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
277 remulcl 9077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
278104, 276, 277sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
279 lelttr 9167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( theta `  ( n  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( ( theta `  (
n  +  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  /\  ( (
theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) )  ->  ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
280269, 270, 278, 279syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  /\  ( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
281262, 280mpand 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
282229, 281sylbid 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
283165, 282syld 43 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
284 eluzfz2 11067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  ( 3 ... n
) )
285 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  n )
)
286 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
287286oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  n )  - 
3 ) )
288287oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) )
289285, 288breq12d 4227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
290289rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 3 ... n )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
291284, 290syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
292291adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
293212zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
29431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  RR )
295127ltp1d 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  <  ( n  +  1 ) )
29625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
297 ltmul2 9863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( 2  x.  n )  <  (
2  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
298127, 266, 296, 297syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( 2  x.  n )  <  (
2  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
299295, 298mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  < 
( 2  x.  (
n  +  1 ) ) )
300293, 273, 294, 299ltsub1dd 9640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  n )  -  3 )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )
301 resubcl 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )
302293, 31, 301sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )
3037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
304 ltmul2 9863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  n )  - 
3 )  <  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
305302, 275, 303, 304syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( 2  x.  n
)  -  3 )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
306300, 305mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
307 chtcl 20894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  RR  ->  ( theta `  n )  e.  RR )
308127, 307syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( theta `  n )  e.  RR )
309 remulcl 9077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  e.  RR )
310104, 302, 309sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  e.  RR )
311104, 275, 277sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
312 lttr 9154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( theta `  n )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  - 
3 ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  /\  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  -> 
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
313308, 310, 311, 312syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  ->  ( theta `  n )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
314306, 313mpan2d 657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
315314adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
316123adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
317 dvdsval2 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
n  +  1 )  <-> 
( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
318122, 118, 317mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  ( (
n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
319265, 318syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2 
||  ( n  + 
1 )  <->  ( (
n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
320 2lt3 10145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  <  3
3212, 31ltnlei 9196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  <  3  <->  -.  3  <_  2 )
322320, 321mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -.  3  <_  2
323 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  =  ( n  + 
1 )  ->  (
3  <_  2  <->  3  <_  ( n  +  1 ) ) )
324322, 323mtbii 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  =  ( n  + 
1 )  ->  -.  3  <_  ( n  + 
1 ) )
325 eluzle 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  ( n  +  1 ) )
326263, 325syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  ( n  +  1 ) )
327324, 326nsyl3 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  -.  2  =  ( n  + 
1 ) )
328327adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  -.  2  =  ( n  +  1 ) )
329 uzid 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
330122, 329ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
331 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
n  +  1 )  e.  Prime )
332 dvdsprm 13101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  2  =  ( n  +  1
) ) )
333330, 331, 332sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  2  =  ( n  +  1
) ) )
334328, 333mtbird 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  -.  2  ||  ( n  + 
1 ) )
335334ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  Prime  ->  -.  2  ||  ( n  +  1 ) ) )
336335con2d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2 
||  ( n  + 
1 )  ->  -.  ( n  +  1
)  e.  Prime )
)
337319, 336sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  -.  ( n  +  1
)  e.  Prime )
)
338337imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  -.  ( n  +  1 )  e.  Prime )
339 chtnprm 20939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  -.  ( n  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( theta `  ( n  +  1 ) )  =  ( theta `  n
) )
340316, 338, 339syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  =  ( theta `  n
) )
341340breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( theta `  n )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
342315, 341sylibrd 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
343292, 342syld 43 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
344 zeo 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
345123, 344syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  e.  ZZ  \/  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
346283, 343, 345mpjaodan 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
347 ovex 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  +  1 )  e. 
_V
348 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( n  +  1 ) ) )
349 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
350349oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )
351350oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
352348, 351breq12d 4227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
353347, 352ralsn 3851 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  { (
n  +  1 ) }  ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  ( theta `  ( n  +  1 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
354346, 353syl6ibr 220 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  A. k  e.  {
( n  +  1 ) }  ( theta `  k )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
355354ancld 538 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e.  { (
n  +  1 ) }  ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) ) )
356 ralun 3531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( 3 ... n ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e. 
{ ( n  + 
1 ) }  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ( 3 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
357 fzsuc 11098 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3 ... ( n  + 
1 ) )  =  ( ( 3 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) )
358357raleqdv 2912 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... ( n  + 
1 ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
( 3 ... n
)  u.  { ( n  +  1 ) } ) ( theta `  k )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
359356, 358syl5ibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e. 
{ ( n  + 
1 ) }  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )  ->  A. k  e.  ( 3 ... (
n  +  1 ) ) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
360355, 359syld 43 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  A. k  e.  ( 3 ... ( n  +  1 ) ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
36168, 70, 72, 74, 76, 115, 360uzind4i 10540 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A. k  e.  ( 3 ... ( |_ `  N ) ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
362 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( |_ `  N ) ) )
363 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( |_ `  N
) ) )
364363oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 ) )
365364oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
366362, 365breq12d 4227 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( |_ `  N ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) ) ) )
367366rspcv 3050 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( 3 ... ( |_ `  N
) )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... ( |_ `  N ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) ) )
36866, 361, 367sylc 59 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( theta `  ( |_ `  N
) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) ) )
36965, 368syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
37061, 369eqbrtrrd 4236 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
37136adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
37231a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  3  e.  RR )
373 flle 11210 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  <_  N )
374373ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  <_  N
)
37522adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
37625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
377 lemul2 9865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  N
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_
`  N )  <_  N 
<->  ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
37851, 375, 376, 377syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  N )  <_  N 
<->  ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
379374, 378mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  <_  (
2  x.  N ) )
38053, 371, 372, 379lesub1dd 9644 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  <_  (
( 2  x.  N
)  -  3 ) )
3817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
382 lemul2 9865 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  <_  (
( 2  x.  N
)  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) )  <_  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
38355, 58, 381, 382syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 )  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  <_  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
384380, 383mpbid 203 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  <_  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
38549, 57, 60, 370, 384ltletrd 9232 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
386122a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
2  e.  ZZ )
387 flcl 11206 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  ZZ )
388387adantr 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ZZ )
389 ltle 9165 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N )
)
3902, 389mpan 653 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  N ) )
391 flge 11216 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  N  <->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
392122, 391mpan2 654 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <_  N  <->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
393390, 392sylibd 207 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
394393imp 420 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
2  <_  ( |_ `  N ) )
395 eluz2 10496 . . . 4  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_
`  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( |_ `  N
) ) )
396386, 388, 394, 395syl3anbrc 1139 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
397 uzp1 10521 . . 3  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( |_ `  N )  =  2  \/  ( |_
`  N )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
398396, 397syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( ( |_ `  N )  =  2  \/  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
39947, 385, 398mpjaodan 763 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  N )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    u. cun 3320   {csn 3816   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   3c3 10052   4c4 10053   6c6 10055   8c8 10057   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ...cfz 11045   |_cfl 11203   ^cexp 11384    || cdivides 12854   Primecprime 13081   logclog 20454   thetaccht 20875
This theorem is referenced by:  bposlem6  21075  chto1ub  21172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-cht 20881
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