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Theorem chtublem 20995
Description: Lemma for chtub 20996. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtublem  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  - 
1 ) ) ) )

Proof of Theorem chtublem
Dummy variables  k  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10133 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
2 nnmulcl 10023 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
31, 2mpan 652 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
43nnred 10015 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
5 peano2rem 9367 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR )
7 chtcl 20892 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  RR )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  RR )
9 nnre 10007 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
10 chtcl 20892 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
12 nnnn0 10228 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
13 2m1e1 10095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1413oveq2i 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  1 )
153nncnd 10016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
16 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
17 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
18 subsub 9331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
1916, 17, 18mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
21 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
22 subdi 9467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2316, 17, 22mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2516mulid1i 9092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2625oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  2 )
2724, 26syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  - 
2 ) )
2827oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
2920, 28eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
3014, 29syl5eqr 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
31 2nn0 10238 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
32 nnm1nn0 10261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
33 nn0mulcl 10256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
3431, 32, 33sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
35 nn0p1nn 10259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
3730, 36eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN )
38 nnnn0 10228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
3937, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
40 1re 9090 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
42 nnge1 10026 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
4341, 9, 9, 42leadd2dd 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  N ) )
44212timesd 10210 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
4543, 44breqtrrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
46 leaddsub 9504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  x.  N )  e.  RR )  -> 
( ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
N  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )
479, 41, 4, 46syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
4845, 47mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )
49 elfz2nn0 11082 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
5012, 39, 48, 49syl3anbrc 1138 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
51 bccl2 11614 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN )
5250, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN )
5352nnrpd 10647 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  RR+ )
5453relogcld 20518 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  RR )
5511, 54readdcld 9115 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  RR )
56 4re 10073 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
57 4pos 10086 . . . . . 6  |-  0  <  4
5856, 57elrpii 10615 . . . . 5  |-  4  e.  RR+
59 relogcl 20473 . . . . 5  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( log `  4 )  e.  RR )
6058, 59ax-mp 8 . . . 4  |-  ( log `  4 )  e.  RR
6132nn0red 10275 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
62 remulcl 9075 . . . 4  |-  ( ( ( log `  4
)  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6360, 61, 62sylancr 645 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6411, 63readdcld 9115 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
65 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
6665adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
67 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
6852adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  NN )
6967, 68pccld 13224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )
70 nn0addge1 10266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
7140, 69, 70sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
72 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  <_  N  ->  if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  =  1 )
7372oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  <_  N  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 1  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
7473breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  <_  N  ->  (
1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  1  <_  ( 1  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
7571, 74syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  ( p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
77 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
7877ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  e.  NN )
79 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )
80 prmz 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
8137nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ZZ )
82 eluz 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
8380, 81, 82syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
8483adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
8579, 84mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p ) )
86 dvdsfac 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
8778, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
88 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
89 faccl 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  NN )
9039, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )
91 pcelnn 13243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9288, 90, 91syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9487, 93mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN )
9594nnge1d 10042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
1  <_  ( p  pCnt  ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
96 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  p  <_  N  ->  if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  =  0 )
9796oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  <_  N  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 0  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
9897ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 0  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
9969nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  CC )
10099addid2d 9267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 0  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( 0  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
102 bcval2 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
10350, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
10444oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( ( N  +  N )  - 
1 ) )
10517a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
10621, 21, 105addsubassd 9431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  N
)  -  1 )  =  ( N  +  ( N  -  1
) ) )
107104, 106eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( N  +  ( N  -  1
) ) )
108107oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N )  =  ( ( N  +  ( N  - 
1 ) )  -  N ) )
10932nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
11021, 109pncan2d 9413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( N  -  1 ) )  -  N )  =  ( N  - 
1 ) )
111108, 110eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N )  =  ( N  - 
1 ) )
112111fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
113112oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N ) )  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
114113oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
115103, 114eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
116115adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
117116oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
118 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
119 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 )
120118, 119jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
12190, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
122121adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  =/=  0 ) )
123 faccl 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN )
12432, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
125 faccl 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
12612, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
127124, 126nnmulcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 N ) )  e.  NN )
128127adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
129 pcdiv 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )  ->  ( p  pCnt  ( ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
13067, 122, 128, 129syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
131 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
132 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )
133131, 132jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
134124, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
135134adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
136 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
137 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
138136, 137jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 ) )
139126, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 ) )
140139adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  ( ! `  N
)  =/=  0 ) )
141 pcmul 13225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  ( ! `  N
)  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) )
14267, 135, 140, 141syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ! `  N )
) ) )
143142oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
144117, 130, 1433eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
145144adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
146 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  <_  N )
147 prmfac1 13118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ! `  N
) )  ->  p  <_  N )
1481473expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
14912, 148sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
150149adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
151146, 150mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ! `
 N ) )
15280adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
153135simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
154 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
155154adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
156 dvdsmultr1 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
) ) )
157152, 153, 155, 156syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) ) )
158 facnn2 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
160159breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  <->  p 
||  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) ) )
161157, 160sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ! `  N )
) )
162161adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ! `  N )
) )
163151, 162mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )
164 pceq0 13244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
16588, 124, 164syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
166165adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
167163, 166mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0 )
168 pceq0 13244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  ( ! `  N )
)  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
16988, 126, 168syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
170169adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
171151, 170mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  N )
)  =  0 )
172167, 171oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
173 00id 9241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  +  0 )  =  0
174172, 173syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) )  =  0 )
175174oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ! `  N )
) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 ) )
176 pccl 13223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
17788, 90, 176syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
178177nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  CC )
179178subid1d 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
180179adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
181145, 175, 1803eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( p 
pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
18298, 101, 1813eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
18395, 182breqtrrd 4238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
184183expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  ( -.  p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
18576, 184pm2.61d 152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
18666, 185eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
187186ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
188 1nn0 10237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
189 0nn0 10236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
190188, 189keepel 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  e.  NN0
191 nn0addcl 10255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  e.  NN0  /\  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  NN0 )
192190, 69, 191sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  NN0 )
193192nn0ge0d 10277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
0  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
194 iffalse 3746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 )  ->  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
195194breq1d 4222 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 )  -> 
( if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  0  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
196193, 195syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  p  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  ->  if (
p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 )  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
197187, 196pm2.61d 152 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 )  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
198 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
199198prmorcht 20961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
20037, 199syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
201200oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
202201adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
203 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
204203exp1d 11518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
205204ifeq1d 3753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
206205mpteq2ia 4291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
207206eqcomi 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )
208188a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  n  e.  Prime )  ->  1  e.  NN0 )
209208ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
21037adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN )
211 eqidd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  p  ->  1  =  1 )
212207, 209, 210, 67, 211pcmpt 13261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 ) )
213202, 212eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  =  if ( p  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 ) )
214 efchtcl 20894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  NN )
2159, 214syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  NN )
216215adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN )
217 nnz 10303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N )
)  e.  ZZ )
218 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N )
)  =/=  0 )
219217, 218jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N ) )  =/=  0 ) )
220216, 219syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N
) )  =/=  0
) )
221 nnz 10303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ )
222 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =/=  0 )
223221, 222jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =/=  0 ) )
22468, 223syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =/=  0 ) )
225 pcmul 13225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N
) )  =/=  0
)  /\  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ  /\  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
22667, 220, 224, 225syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
227198prmorcht 20961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 N ) )
228227oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N )
) )  =  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) ) )
229228adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N
) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) ) )
230 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
231207, 209, 230, 67, 211pcmpt 13261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) )  =  if ( p  <_  N ,  1 ,  0 ) )
232229, 231eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N
) ) )  =  if ( p  <_  N ,  1 , 
0 ) )
233232oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
234226, 233eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
235197, 213, 2343brtr4d 4242 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
236235ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
237 efchtcl 20894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  NN )
2386, 237syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  NN )
239238nnzd 10374 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
240215, 52nnmulcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN )
241240nnzd 10374 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  ZZ )
242 pc2dvds 13252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  x.  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
243239, 241, 242syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  x.  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
244236, 243mpbird 224 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  ||  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
245 dvdsle 12895 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN )  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  ->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
246239, 240, 245syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  ->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
247244, 246mpd 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  <_  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
24811recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  N )  e.  CC )
24954recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  CC )
250 efadd 12696 . . . . . 6  |-  ( ( ( theta `  N )  e.  CC  /\  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
251248, 249, 250syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
25253reeflogd 20519 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
253252oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) )
254251, 253eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
255247, 254breqtrrd 4238 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
256 efle 12719 . . . 4  |-  ( ( ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  RR  /\  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  <_  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( ( theta `  N
)  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) ) ) ) )
2578, 55, 256syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  <_  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( exp `  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) ) )
258255, 257mpbird 224 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) ) )
259 fzfid 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
260 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
261 bccl 11613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
26239, 260, 261syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  NN0 )
263262nn0red 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  RR )
264262nn0ge0d 10277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k ) )
265 nn0uz 10520 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
26632, 265syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
267 fzss1 11091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ( N  -  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
268266, 267syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
269 eluz 10499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
270154, 81, 269syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
27148, 270mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
272 fzss2 11092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
273271, 272syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
274268, 273sstrd 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
275259, 263, 264, 274fsumless 12575 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... N
) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k ) )
27632nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
277 bccmpl 11600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N ) ) )
27839, 154, 277syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) ) )
279111oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
280278, 279eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
28152nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  CC )
282280, 281eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
283 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( N  - 
1 )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
284283fsum1 12535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  ( N  -  1 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  ( N  - 
1 ) ) )
285276, 282, 284syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
286285, 280eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
287286oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  +  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
28821, 105npcand 9415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
289 uzid 10500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
290276, 289syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
291 peano2uz 10530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
292290, 291syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
293288, 292eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
294274sselda 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
295262nn0cnd 10276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
296294, 295syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
297 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
298293, 296, 297fsumm1 12537 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... N
) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  (
sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  +  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )
2992812timesd 10210 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) )
300287, 298, 2993eqtr4rd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
301 binom11 12611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
30239, 301syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
303275, 300, 3023brtr4d 4242 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( 2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
304 mulcom 9076 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  x.  2 ) )
30516, 281, 304sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N )  x.  2 ) )
30630oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) ) )
307 expp1 11388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  x.  2 ) )
30816, 34, 307sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 2  x.  ( N  -  1 ) ) )  x.  2 ) )
30916a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
31031a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
311309, 32, 310expmuld 11526 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
( N  -  1 ) ) )
312 sq2 11477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
313312oveq1i 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ ( N  - 
1 ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )
314311, 313syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
315314oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
2  x.  ( N  -  1 ) ) )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
316306, 308, 3153eqtrd 2472 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
317303, 305, 3163brtr3d 4241 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  x.  2 )  <_  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
31852nnred 10015 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  RR )
319 reexpcl 11398 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
32056, 32, 319sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
321 2re 10069 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
322 2pos 10082 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
323321, 322pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
324323a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
325 lemul1 9862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  RR  /\  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  <_  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  <->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  x.  2 )  <_ 
( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
326318, 320, 324, 325syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  <_  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  <->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  x.  2 )  <_ 
( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
327317, 326mpbird 224 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  <_  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
32860recni 9102 . . . . . . . 8  |-  ( log `  4 )  e.  CC
329 mulcom 9076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  4
)  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) )
330328, 109, 329sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( log `  4
) ) )
331330fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  =  ( exp `  (
( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
332 reexplog 20489 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 4 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( exp `  ( ( N  - 
1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
33358, 276, 332sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( exp `  (
( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
334331, 333eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
335327, 252, 3343brtr4d 4242 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) )
336 efle 12719 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) ) )
33754, 63, 336syl2anc 643 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) ) )
338335, 337mpbird 224 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_ 
( ( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) ) )
33954, 63, 11, 338leadd2dd 9641 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  (
( theta `  N )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) )
3408, 55, 64, 258, 339letrd 9227 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   4c4 10051   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043    seq cseq 11323   ^cexp 11382   !cfa 11566    _C cbc 11593   sum_csu 12479   expce 12664    || cdivides 12852   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210   logclog 20452   thetaccht 20873
This theorem is referenced by:  chtub  20996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cht 20879
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