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Theorem chtublem 20450
Description: Lemma for chtub 20451. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtublem  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  - 
1 ) ) ) )

Proof of Theorem chtublem
Dummy variables  k  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 9877 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
2 nnmulcl 9769 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
31, 2mpan 651 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
43nnred 9761 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
5 peano2rem 9113 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR )
7 chtcl 20347 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  RR )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  RR )
9 nnre 9753 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
10 chtcl 20347 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
12 nnnn0 9972 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
13 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1413oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  -  1 )  =  ( ( 1  +  1 )  -  1 )
15 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
16 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1 )
1715, 15, 16mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1
1814, 17eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1918oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  1 )
203nncnd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
21 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
22 subsub 9077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
2321, 15, 22mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
2420, 23syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
25 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
26 subdi 9213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2721, 15, 26mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2825, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2921mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3029oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  -  2 )
3128, 30syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  - 
2 ) )
3231oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  2 )  +  1 ) )
3324, 32eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
3419, 33syl5eqr 2329 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
35 2nn0 9982 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
36 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
37 nn0mulcl 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
3835, 36, 37sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
39 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
4134, 40eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN )
42 nnnn0 9972 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
4341, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
44 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4544a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
46 nnge1 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
4745, 9, 9, 46leadd2dd 9387 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  N ) )
48252timesd 9954 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
4947, 48breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
50 leaddsub 9250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  x.  N )  e.  RR )  -> 
( ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
N  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )
519, 45, 4, 50syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
5249, 51mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )
53 elfz2nn0 10821 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
5412, 43, 52, 53syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
55 bccl2 11335 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN )
5654, 55syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN )
5756nnrpd 10389 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  RR+ )
5857relogcld 19974 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  RR )
5911, 58readdcld 8862 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  RR )
60 4re 9819 . . . . . 6  |-  4  e.  RR
61 4pos 9832 . . . . . 6  |-  0  <  4
6260, 61elrpii 10357 . . . . 5  |-  4  e.  RR+
63 relogcl 19932 . . . . 5  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( log `  4 )  e.  RR )
6462, 63ax-mp 8 . . . 4  |-  ( log `  4 )  e.  RR
6536nn0red 10019 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
66 remulcl 8822 . . . 4  |-  ( ( ( log `  4
)  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6764, 65, 66sylancr 644 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6811, 67readdcld 8862 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
69 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
71 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
7256adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  NN )
7371, 72pccld 12903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )
74 nn0addge1 10010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
7544, 73, 74sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
76 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  <_  N  ->  if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  =  1 )
7776oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  <_  N  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 1  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
7877breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  <_  N  ->  (
1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  1  <_  ( 1  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
7975, 78syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  ( p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
81 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
8281ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  e.  NN )
83 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )
84 prmz 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
8541nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ZZ )
86 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
8784, 85, 86syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
8887adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
8983, 88mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p ) )
90 dvdsfac 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
9182, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
92 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
93 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e.  NN )
9443, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )
95 pcelnn 12922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9692, 94, 95syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
9891, 97mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN )
9998nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
1  <_  ( p  pCnt  ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
100 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  p  <_  N  ->  if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  =  0 )
101100oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  p  <_  N  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 0  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
102101ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( 0  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
10373nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  CC )
104103addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 0  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( 0  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
106 bcval2 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
10754, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
10848oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( ( N  +  N )  - 
1 ) )
10915a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
11025, 25, 109addsubassd 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  N
)  -  1 )  =  ( N  +  ( N  -  1
) ) )
111108, 110eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  =  ( N  +  ( N  -  1
) ) )
112111oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N )  =  ( ( N  +  ( N  - 
1 ) )  -  N ) )
11336nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
11425, 113pncan2d 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  ( N  -  1 ) )  -  N )  =  ( N  - 
1 ) )
115112, 114eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N )  =  ( N  - 
1 ) )
116115fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  =  ( ! `  ( N  -  1
) ) )
117116oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N ) )  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
118117oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
119107, 118eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
120119adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  /  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
121120oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( p 
pCnt  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
122 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
123 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 )
124122, 123jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
12594, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
126125adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  =/=  0 ) )
127 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN )
12836, 127syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
129 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
13012, 129syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
131128, 130nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 N ) )  e.  NN )
132131adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
133 pcdiv 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )  ->  ( p  pCnt  ( ( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
13471, 126, 132, 133syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ! `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
135 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
136 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )
137135, 136jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
138128, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
139138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  1
) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 ) )
140 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
141 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
142140, 141jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 ) )
143130, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 ) )
144143adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  ( ! `  N
)  =/=  0 ) )
145 pcmul 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  ( ! `  N
)  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  ( ! `  N )
) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) )
14671, 139, 144, 145syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ! `  N )
) ) )
147146oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( p 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
148121, 134, 1473eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
149148adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) ) ) )
150 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  <_  N )
151 prmfac1 12797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ! `  N
) )  ->  p  <_  N )
1521513expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
15312, 152sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
154153adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  ->  p  <_  N )
)
155150, 154mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ! `
 N ) )
15684adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
157139simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
158 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
159158adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
160 dvdsmultr1 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
) ) )
161156, 157, 159, 160syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) ) )
162 facnn2 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
163162adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
164163breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  N )  <->  p 
||  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) ) )
165161, 164sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ! `  N )
) )
166165adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( N  -  1 ) )  ->  p  ||  ( ! `  N )
) )
167155, 166mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )
168 pceq0 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( N  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
16992, 128, 168syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
170169adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )
171167, 170mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  0 )
172 pceq0 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  ( ! `  N )
)  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
17392, 130, 172syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
174173adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ! `  N ) ) )
175155, 174mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  N )
)  =  0 )
176171, 175oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
177 00id 8987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  +  0 )  =  0
178176, 177syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ! `  N ) ) )  =  0 )
179178oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ! `  N )
) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 ) )
180 pccl 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
18192, 94, 180syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
182181nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( ! `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  e.  CC )
183182subid1d 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
184183adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )  -  0 )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
185149, 179, 1843eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( p 
pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
186102, 105, 1853eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( p  pCnt  ( ! `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )
18799, 186breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  /\  -.  p  <_  N ) )  -> 
1  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
188187expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  ( -.  p  <_  N  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
18980, 188pm2.61d 150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  1  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
19070, 189eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
191190ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  ->  if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
192 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
193 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
194192, 193keepel 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  e.  NN0
195 nn0addcl 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  e.  NN0  /\  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN0 )  ->  ( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  NN0 )
196194, 73, 195sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  NN0 )
197196nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
0  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
198 iffalse 3572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 )  ->  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
199198breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 )  -> 
( if ( p  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ,  1 ,  0 )  <_ 
( if ( p  <_  N ,  1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  0  <_  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
200197, 199syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  p  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  ->  if (
p  <_  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 )  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
201191, 200pm2.61d 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 )  <_  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
202 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
203202prmorcht 20416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
20441, 203syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
205204oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
206205adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )
207 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
208207exp1d 11240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
209208ifeq1d 3579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
210209mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
211210eqcomi 2287 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )
212192a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  n  e.  Prime )  ->  1  e.  NN0 )
213212ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
21441adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN )
215 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  p  ->  1  =  1 )
216211, 213, 214, 71, 215pcmpt 12940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  =  if ( p  <_  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ,  1 ,  0 ) )
217206, 216eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  =  if ( p  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  1 ) ,  1 ,  0 ) )
218 efchtcl 20349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  NN )
2199, 218syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  NN )
220219adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN )
221 nnz 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N )
)  e.  ZZ )
222 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N )
)  =/=  0 )
223221, 222jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  NN  ->  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N ) )  =/=  0 ) )
224220, 223syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( exp `  ( theta `  N ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N
) )  =/=  0
) )
225 nnz 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ )
226 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =/=  0 )
227225, 226jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =/=  0 ) )
22872, 227syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =/=  0 ) )
229 pcmul 12904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  N
) )  =/=  0
)  /\  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  ZZ  /\  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
23071, 224, 228, 229syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( p 
pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p 
pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
231202prmorcht 20416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  N
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 N ) )
232231oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N )
) )  =  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) ) )
233232adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N
) ) )  =  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) ) )
234 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
235211, 213, 234, 71, 215pcmpt 12940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  N
) )  =  if ( p  <_  N ,  1 ,  0 ) )
236233, 235eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N
) ) )  =  if ( p  <_  N ,  1 , 
0 ) )
237236oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  N ) ) )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( if ( p  <_  N ,  1 , 
0 )  +  ( p  pCnt  ( (
( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
238230, 237eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( if ( p  <_  N , 
1 ,  0 )  +  ( p  pCnt  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
239201, 217, 2383brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
240239ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )
241 efchtcl 20349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  NN )
2426, 241syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  NN )
243242nnzd 10116 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  e.  ZZ )
244219, 56nnmulcld 9793 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN )
245244nnzd 10116 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  ZZ )
246 pc2dvds 12931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  x.  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
247243, 245, 246syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) ) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  N
) )  x.  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
248240, 247mpbird 223 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  ||  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
249 dvdsle 12574 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  NN )  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  ->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
250243, 244, 249syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) ) 
||  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  ->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( ( exp `  ( theta `  N )
)  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )
251248, 250mpd 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  <_  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
25211recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  N )  e.  CC )
25358recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  CC )
254 efadd 12375 . . . . . 6  |-  ( ( ( theta `  N )  e.  CC  /\  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
255252, 253, 254syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
25657reeflogd 19975 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
257256oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( exp `  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) )
258255, 257eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( theta `  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
259251, 258breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) ) ) )
260 efle 12398 . . . 4  |-  ( ( ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  e.  RR  /\  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  <_  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  ( exp `  ( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( ( theta `  N
)  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) ) ) ) )
2618, 59, 260syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  ( (
2  x.  N )  -  1 ) )  <_  ( ( theta `  N )  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )  <->  ( exp `  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  <_  ( exp `  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) ) ) ) )
262259, 261mpbird 223 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) ) )
263 fzfid 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
264 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
265 bccl 11334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  e.  NN0 )
26643, 264, 265syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  NN0 )
267266nn0red 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  RR )
268266nn0ge0d 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k ) )
269 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
27036, 269syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
271 fzss1 10830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ( N  -  1 ) ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
272270, 271syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... N ) )
273 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )
274158, 85, 273syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  ( ( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
27552, 274mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
276 fzss2 10831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
277275, 276syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) )
278272, 277sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 ) ... N ) 
C_  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
279263, 267, 268, 278fsumless 12254 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... N
) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  N
)  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k ) )
28036nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
281 bccmpl 11322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  -  N ) ) )
28243, 158, 281syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  -  N
) ) )
283115oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  -  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
284282, 283eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
28556nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  CC )
286284, 285eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
287 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( N  - 
1 )  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
288287fsum1 12214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  ( N  -  1 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  ( N  - 
1 ) ) )
289280, 286, 288syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  ( N  -  1 ) ) )
290289, 284eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
291290oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  +  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )
29225, 109npcand 9161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
293 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
294280, 293syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
295 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
296294, 295syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
297292, 296eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
298278sselda 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
299266nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
300298, 299syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  e.  CC )
301 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )
302297, 300, 301fsumm1 12216 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( N  - 
1 ) ... N
) ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  k )  =  (
sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
)  +  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) ) )
3032852timesd 9954 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N )  +  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) ) )
304291, 302, 3033eqtr4rd 2326 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( ( N  -  1 ) ... N ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
305 binom11 12290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
30643, 305syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  k
) )
307279, 304, 3063brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( 2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) ) )
308 mulcom 8823 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  x.  2 ) )
30921, 285, 308sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  -  1 )  _C  N )  x.  2 ) )
31034oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) ) )
311 expp1 11110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  x.  2 ) )
31221, 38, 311sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  ( N  -  1 ) )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 2  x.  ( N  -  1 ) ) )  x.  2 ) )
31321a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
31435a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
315313, 36, 314expmuld 11248 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
( N  -  1 ) ) )
316 sq2 11199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
317316oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ 2 ) ^ ( N  - 
1 ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )
318315, 317syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 2  x.  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
319318oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
2  x.  ( N  -  1 ) ) )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
320310, 312, 3193eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 2  x.  N )  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
321307, 309, 3203brtr3d 4052 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  x.  2 )  <_  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) )
32256nnred 9761 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  e.  RR )
323 reexpcl 11120 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
32460, 36, 323sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
325 2re 9815 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
326 2pos 9828 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
327325, 326pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
328327a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
329 lemul1 9608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  e.  RR  /\  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  <_  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  <->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  x.  2 )  <_ 
( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
330322, 324, 328, 329syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  - 
1 )  _C  N
)  <_  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  <->  ( (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  x.  2 )  <_ 
( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
331321, 330mpbird 223 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N )  <_  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
33264recni 8849 . . . . . . . 8  |-  ( log `  4 )  e.  CC
333 mulcom 8823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  4
)  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) )
334332, 113, 333sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( log `  4
) ) )
335334fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  =  ( exp `  (
( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
336 reexplog 19948 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 4 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( exp `  ( ( N  - 
1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
33762, 280, 336sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( exp `  (
( N  -  1 )  x.  ( log `  4 ) ) ) )
338335, 337eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) )  =  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )
339331, 256, 3383brtr4d 4053 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) )
340 efle 12398 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) ) )
34158, 67, 340syl2anc 642 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) ) )
342339, 341mpbird 223 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) )  <_ 
( ( log `  4
)  x.  ( N  -  1 ) ) )
34358, 67, 11, 342leadd2dd 9387 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( theta `  N )  +  ( log `  (
( ( 2  x.  N )  -  1 )  _C  N ) ) )  <_  (
( theta `  N )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  -  1 ) ) ) )
3448, 59, 68, 262, 343letrd 8973 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  N )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  N
)  +  ( ( log `  4 )  x.  ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   4c4 9797   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104   !cfa 11288    _C cbc 11315   sum_csu 12158   expce 12343    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   logclog 19912   thetaccht 20328
This theorem is referenced by:  chtub  20451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cht 20334
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