MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtwordi Structured version   Unicode version

Theorem chtwordi 20931
Description: The Chebyshev function is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtwordi  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( theta `  A )  <_ 
( theta `  B )
)

Proof of Theorem chtwordi
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
2 ppifi 20880 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( 0 [,] B
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( 0 [,] B
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
4 inss2 3554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] B )  i^i  Prime )  C_  Prime
5 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )
64, 5sseldi 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  Prime )
7 prmuz2 13089 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9 eluz2b2 10540 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
108, 9sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  NN  /\  1  <  p ) )
1110simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  NN )
1211nnred 10007 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR )
1310simprd 450 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <  p )
1412, 13rplogcld 20516 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
1514rpred 10640 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
1614rpge0d 10644 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  /\  p  e.  ( (
0 [,] B )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <_  ( log `  p ) )
17 0re 9083 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  e.  RR )
19 0le0 10073 . . . . . 6  |-  0  <_  0
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  <_  0 )
21 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
22 iccss 10970 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
0  /\  A  <_  B ) )  ->  (
0 [,] A ) 
C_  ( 0 [,] B ) )
2318, 1, 20, 21, 22syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
0 [,] A ) 
C_  ( 0 [,] B ) )
24 ssrin 3558 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] A ) 
C_  ( 0 [,] B )  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  C_  ( ( 0 [,] B )  i^i  Prime ) )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  C_  ( ( 0 [,] B )  i^i  Prime ) )
263, 15, 16, 25fsumless 12567 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( log `  p
)  <_  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] B )  i^i  Prime ) ( log `  p
) )
27 chtval 20885 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( theta `  A )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
28273ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( theta `  A )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
29 chtval 20885 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  ( theta `  B )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] B
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
301, 29syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( theta `  B )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] B
)  i^i  Prime ) ( log `  p ) )
3126, 28, 303brtr4d 4234 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( theta `  A )  <_ 
( theta `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   2c2 10041   ZZ>=cuz 10480   [,]cicc 10911   sum_csu 12471   Primecprime 13071   logclog 20444   thetaccht 20865
This theorem is referenced by:  chtrpcl  20950  bposlem6  21065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-prm 13072  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cht 20871
  Copyright terms: Public domain W3C validator