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Theorem cidpropd 13613
Description: Two structures with the same base, hom-sets and composition operation have the same identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catpropd.1  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
catpropd.2  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
catpropd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
catpropd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
Assertion
Ref Expression
cidpropd  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )

Proof of Theorem cidpropd
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
3 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
5 catpropd.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
65ad5antr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
7 catpropd.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
87ad5antr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
9 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
10 simp-4r 743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
11 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )
12 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
131, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 10, 11, 12comfeqval 13611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  ( g (
<. y ,  x >. (comp `  D ) x ) f ) )
1413eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  ( (
g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f ) )
1514ralbidva 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
16 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
175ad4antr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
19 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
201, 2, 16, 17, 18, 19homfeqval 13600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( y
(  Hom  `  C ) x )  =  ( y (  Hom  `  D
) x ) )
2120raleqdv 2742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
2215, 21bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
2317adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
247ad5antr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
2519adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
2618adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
27 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
291, 2, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 26, 27, 28comfeqval 13611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  D ) y ) g ) )
3029eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  ( (
f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )
3130ralbidva 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
321, 2, 16, 17, 19, 18homfeqval 13600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( x
(  Hom  `  C ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
3332raleqdv 2742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
3431, 33bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
3522, 34anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( ( A. f  e.  (
y (  Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f )  <-> 
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3635ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3736riotabidva 6321 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
385ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
39 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
401, 2, 16, 38, 39, 39homfeqval 13600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x (  Hom  `  C
) x )  =  ( x (  Hom  `  D ) x ) )
415homfeqbas 13599 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  D ) )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )
4342raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f ) ) )
4440, 43riotaeqbidv 6307 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
4537, 44eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
4645mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
4741adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Base `  C )  =  (
Base `  D )
)
4847mpteq1d 4101 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
4946, 48eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
50 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
51 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
521, 2, 3, 50, 51cidfval 13578 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) ) )
53 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
54 catpropd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
55 catpropd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
565, 7, 54, 55catpropd 13612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  Cat ) )
5756biimpa 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
58 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
5953, 16, 4, 57, 58cidfval 13578 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  D )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
6049, 52, 593eqtr4d 2325 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( Id `  D
) )
61 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  Cat )
62 cidffn 13580 . . . . . . 7  |-  Id  Fn  Cat
63 fndm 5343 . . . . . . 7  |-  ( Id  Fn  Cat  ->  dom  Id  =  Cat )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  Id  =  Cat
6564eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( C  e.  dom  Id  <->  C  e.  Cat )
6661, 65sylnibr 296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  dom  Id )
67 ndmfv 5552 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  dom  Id  ->  ( Id `  C
)  =  (/) )
6866, 67syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  (/) )
6964eleq2i 2347 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  Id  <->  D  e.  Cat )
7056, 69syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  dom  Id ) )
7170notbid 285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  C  e. 
Cat 
<->  -.  D  e.  dom  Id ) )
7271biimpa 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  D  e.  dom  Id )
73 ndmfv 5552 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  dom  Id  ->  ( Id `  D
)  =  (/) )
7472, 73syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  D )  =  (/) )
7568, 74eqtr4d 2318 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  ( Id `  D
) )
7660, 75pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   (/)c0 3455   <.cop 3643    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566   Idccid 13567    Homf chomf 13568  compfccomf 13569
This theorem is referenced by:  funcpropd  13774  curfpropd  14007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-cat 13570  df-cid 13571  df-homf 13572  df-comf 13573
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