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Theorem cidpropd 13629
Description: Two structures with the same base, hom-sets and composition operation have the same identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catpropd.1  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
catpropd.2  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
catpropd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
catpropd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
Assertion
Ref Expression
cidpropd  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )

Proof of Theorem cidpropd
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
3 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
5 catpropd.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
65ad5antr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
7 catpropd.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
87ad5antr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
9 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
10 simp-4r 743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
11 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )
12 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
131, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 10, 11, 12comfeqval 13627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  ( g (
<. y ,  x >. (comp `  D ) x ) f ) )
1413eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  ( (
g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f ) )
1514ralbidva 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
16 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
175ad4antr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
19 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
201, 2, 16, 17, 18, 19homfeqval 13616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( y
(  Hom  `  C ) x )  =  ( y (  Hom  `  D
) x ) )
2120raleqdv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
2215, 21bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
2317adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
247ad5antr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
2519adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
2618adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
27 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
291, 2, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 26, 27, 28comfeqval 13627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  D ) y ) g ) )
3029eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  ( (
f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )
3130ralbidva 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
321, 2, 16, 17, 19, 18homfeqval 13616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( x
(  Hom  `  C ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
3332raleqdv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
3431, 33bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
3522, 34anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( ( A. f  e.  (
y (  Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f )  <-> 
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3635ralbidva 2572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3736riotabidva 6337 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
385ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
39 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
401, 2, 16, 38, 39, 39homfeqval 13616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x (  Hom  `  C
) x )  =  ( x (  Hom  `  D ) x ) )
415homfeqbas 13615 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  D ) )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )
4342raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f ) ) )
4440, 43riotaeqbidv 6323 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
4537, 44eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
4645mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
4741adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Base `  C )  =  (
Base `  D )
)
4847mpteq1d 4117 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
4946, 48eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
50 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
51 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
521, 2, 3, 50, 51cidfval 13594 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) ) )
53 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
54 catpropd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
55 catpropd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
565, 7, 54, 55catpropd 13628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  Cat ) )
5756biimpa 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
58 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
5953, 16, 4, 57, 58cidfval 13594 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  D )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
6049, 52, 593eqtr4d 2338 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( Id `  D
) )
61 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  Cat )
62 cidffn 13596 . . . . . . 7  |-  Id  Fn  Cat
63 fndm 5359 . . . . . . 7  |-  ( Id  Fn  Cat  ->  dom  Id  =  Cat )
6462, 63ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  Id  =  Cat
6564eleq2i 2360 . . . . 5  |-  ( C  e.  dom  Id  <->  C  e.  Cat )
6661, 65sylnibr 296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  dom  Id )
67 ndmfv 5568 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  dom  Id  ->  ( Id `  C
)  =  (/) )
6866, 67syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  (/) )
6964eleq2i 2360 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  Id  <->  D  e.  Cat )
7056, 69syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  dom  Id ) )
7170notbid 285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  C  e. 
Cat 
<->  -.  D  e.  dom  Id ) )
7271biimpa 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  D  e.  dom  Id )
73 ndmfv 5568 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  dom  Id  ->  ( Id `  D
)  =  (/) )
7472, 73syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  D )  =  (/) )
7568, 74eqtr4d 2331 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  ( Id `  D
) )
7660, 75pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   (/)c0 3468   <.cop 3656    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582   Idccid 13583    Homf chomf 13584  compfccomf 13585
This theorem is referenced by:  funcpropd  13790  curfpropd  14023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-cat 13586  df-cid 13587  df-homf 13588  df-comf 13589
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