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Theorem cidpropd 13928
Description: Two structures with the same base, hom-sets and composition operation have the same identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catpropd.1  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
catpropd.2  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
catpropd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
catpropd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
Assertion
Ref Expression
cidpropd  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )

Proof of Theorem cidpropd
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catpropd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
21homfeqbas 13914 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  D ) )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Base `  C )  =  (
Base `  D )
)
4 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
6 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
71ad4antr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
8 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
9 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
104, 5, 6, 7, 8, 9homfeqval 13915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( y
(  Hom  `  C ) x )  =  ( y (  Hom  `  D
) x ) )
11 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
12 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
131ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
14 catpropd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
1514ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
16 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
17 simp-4r 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
18 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )
19 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
204, 5, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 17, 18, 19comfeqval 13926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  ( g (
<. y ,  x >. (comp `  D ) x ) f ) )
2120eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  ( (
g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f ) )
2210, 21raleqbidva 2910 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
234, 5, 6, 7, 9, 8homfeqval 13915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( x
(  Hom  `  C ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
247adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
2514ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
269adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
27 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
28 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
29 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
304, 5, 11, 12, 24, 25, 26, 26, 27, 28, 29comfeqval 13926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  D ) y ) g ) )
3130eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  ( (
f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )
3223, 31raleqbidva 2910 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
3322, 32anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( ( A. f  e.  (
y (  Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f )  <-> 
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3433ralbidva 2713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3534riotabidva 6558 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
361ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
37 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
384, 5, 6, 36, 37, 37homfeqval 13915 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x (  Hom  `  C
) x )  =  ( x (  Hom  `  D ) x ) )
392ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )
4039raleqdv 2902 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f ) ) )
4138, 40riotaeqbidv 6544 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
4235, 41eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
433, 42mpteq12dva 4278 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
44 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
45 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
464, 5, 11, 44, 45cidfval 13893 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) ) )
47 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
48 catpropd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
49 catpropd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
501, 14, 48, 49catpropd 13927 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  Cat ) )
5150biimpa 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
52 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
5347, 6, 12, 51, 52cidfval 13893 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  D )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
5443, 46, 533eqtr4d 2477 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( Id `  D
) )
55 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  Cat )
56 cidffn 13895 . . . . . . 7  |-  Id  Fn  Cat
57 fndm 5536 . . . . . . 7  |-  ( Id  Fn  Cat  ->  dom  Id  =  Cat )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  Id  =  Cat
5958eleq2i 2499 . . . . 5  |-  ( C  e.  dom  Id  <->  C  e.  Cat )
6055, 59sylnibr 297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  dom  Id )
61 ndmfv 5747 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  dom  Id  ->  ( Id `  C
)  =  (/) )
6260, 61syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  (/) )
6358eleq2i 2499 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  Id  <->  D  e.  Cat )
6450, 63syl6bbr 255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  dom  Id ) )
6564notbid 286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  C  e. 
Cat 
<->  -.  D  e.  dom  Id ) )
6665biimpa 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  D  e.  dom  Id )
67 ndmfv 5747 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  dom  Id  ->  ( Id `  D
)  =  (/) )
6866, 67syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  D )  =  (/) )
6962, 68eqtr4d 2470 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  ( Id `  D
) )
7054, 69pm2.61dan 767 1  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   (/)c0 3620   <.cop 3809    e. cmpt 4258   dom cdm 4870    Fn wfn 5441   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   Basecbs 13461    Hom chom 13532  compcco 13533   Catccat 13881   Idccid 13882    Homf chomf 13883  compfccomf 13884
This theorem is referenced by:  funcpropd  14089  curfpropd  14322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-cat 13885  df-cid 13886  df-homf 13887  df-comf 13888
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