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Theorem cidpropd 13856
Description: Two structures with the same base, hom-sets and composition operation have the same identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catpropd.1  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
catpropd.2  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
catpropd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
catpropd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
Assertion
Ref Expression
cidpropd  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )

Proof of Theorem cidpropd
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catpropd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
21homfeqbas 13842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  D ) )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Base `  C )  =  (
Base `  D )
)
4 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
6 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
71ad4antr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
8 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
9 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
104, 5, 6, 7, 8, 9homfeqval 13843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( y
(  Hom  `  C ) x )  =  ( y (  Hom  `  D
) x ) )
11 eqid 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
12 eqid 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
131ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
14 catpropd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
1514ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
16 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
17 simp-4r 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
18 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )
19 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
204, 5, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 17, 18, 19comfeqval 13854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  ( g (
<. y ,  x >. (comp `  D ) x ) f ) )
2120eqeq1d 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) )  ->  ( (
g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f ) )
2210, 21raleqbidva 2854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f ) )
234, 5, 6, 7, 9, 8homfeqval 13843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( x
(  Hom  `  C ) y )  =  ( x (  Hom  `  D
) y ) )
247adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
2514ad5antr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
269adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
27 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
28 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
29 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )
304, 5, 11, 12, 24, 25, 26, 26, 27, 28, 29comfeqval 13854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  D ) y ) g ) )
3130eqeq1d 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) )  ->  ( (
f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )
3223, 31raleqbidva 2854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) )
3322, 32anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  /\  y  e.  (
Base `  C )
)  ->  ( ( A. f  e.  (
y (  Hom  `  C
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) g )  =  f )  <-> 
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3433ralbidva 2658 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  /\  g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
3534riotabidva 6495 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
361ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
37 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
384, 5, 6, 36, 37, 37homfeqval 13843 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
x (  Hom  `  C
) x )  =  ( x (  Hom  `  D ) x ) )
392ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )
4039raleqdv 2846 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D
) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D
) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D
) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D
) y ) g )  =  f ) ) )
4138, 40riotaeqbidv 6481 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
4235, 41eqtrd 2412 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )  =  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D ) x ) A. y  e.  (
Base `  D )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  D ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  D ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  D ) y ) g )  =  f ) ) )
433, 42mpteq12dva 4220 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
44 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
45 eqid 2380 . . . 4  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
464, 5, 11, 44, 45cidfval 13821 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) ) )
47 eqid 2380 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
48 catpropd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
49 catpropd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
501, 14, 48, 49catpropd 13855 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  Cat ) )
5150biimpa 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
52 eqid 2380 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
5347, 6, 12, 51, 52cidfval 13821 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  D )  =  ( x  e.  (
Base `  D )  |->  ( iota_ g  e.  ( x (  Hom  `  D
) x ) A. y  e.  ( Base `  D ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  D ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  D )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  D ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  D )
y ) g )  =  f ) ) ) )
5443, 46, 533eqtr4d 2422 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( Id
`  C )  =  ( Id `  D
) )
55 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  Cat )
56 cidffn 13823 . . . . . . 7  |-  Id  Fn  Cat
57 fndm 5477 . . . . . . 7  |-  ( Id  Fn  Cat  ->  dom  Id  =  Cat )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  Id  =  Cat
5958eleq2i 2444 . . . . 5  |-  ( C  e.  dom  Id  <->  C  e.  Cat )
6055, 59sylnibr 297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  C  e.  dom  Id )
61 ndmfv 5688 . . . 4  |-  ( -.  C  e.  dom  Id  ->  ( Id `  C
)  =  (/) )
6260, 61syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  (/) )
6358eleq2i 2444 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  Id  <->  D  e.  Cat )
6450, 63syl6bbr 255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  D  e.  dom  Id ) )
6564notbid 286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  C  e. 
Cat 
<->  -.  D  e.  dom  Id ) )
6665biimpa 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  -.  D  e.  dom  Id )
67 ndmfv 5688 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  dom  Id  ->  ( Id `  D
)  =  (/) )
6866, 67syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  D )  =  (/) )
6962, 68eqtr4d 2415 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  Cat )  ->  ( Id `  C )  =  ( Id `  D
) )
7054, 69pm2.61dan 767 1  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( Id
`  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   (/)c0 3564   <.cop 3753    e. cmpt 4200   dom cdm 4811    Fn wfn 5382   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   iota_crio 6471   Basecbs 13389    Hom chom 13460  compcco 13461   Catccat 13809   Idccid 13810    Homf chomf 13811  compfccomf 13812
This theorem is referenced by:  funcpropd  14017  curfpropd  14250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-cat 13813  df-cid 13814  df-homf 13815  df-comf 13816
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