Theorem circgrp 8740

Description: The circle group T is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
circgrp.1	|- C = {w e. CC | (abs` w) = 1}
circgrp.2	|- T = ( x. |` (C X. C))

Assertion

Ref	Expression
circgrp	|- T e. Abel

Proof of Theorem circgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (abs` w) = (abs` z))
2	1	eqeq1d 1483	. . . . . . . 8 |- (w = z -> ((abs` w) = 1 <-> (abs` z) = 1))
3		circgrp.1	. . . . . . . 8 |- C = {w e. CC | (abs` w) = 1}
4	2, 3	elrab2 1907	. . . . . . 7 |- (z e. C <-> (z e. CC /\ (abs` z) = 1))
5		efifolem7 8728	. . . . . . 7 |- ((z e. CC /\ (abs` z) = 1) -> E.x e. (0[,)(2 x. pi))z = (exp` (i x. x)))
6	4, 5	sylbi 199	. . . . . 6 |- (z e. C -> E.x e. (0[,)(2 x. pi))z = (exp` (i x. x)))
7		0re 5440	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
8		2re 5979	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
9		pire 8677	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
10	8, 9	remulcl 5335	. . . . . . . . . . 11 |- (2 x. pi) e. RR
11		elico2t 6391	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (x e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < (2 x. pi))))
12	7, 10, 11	mp2an 697	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < (2 x. pi)))
13	12	biimp 151	. . . . . . . . 9 |- (x e. (0[,)(2 x. pi)) -> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < (2 x. pi)))
14	13	3simp1d 794	. . . . . . . 8 |- (x e. (0[,)(2 x. pi)) -> x e. RR)
15	14	anim1i 334	. . . . . . 7 |- ((x e. (0[,)(2 x. pi)) /\ z = (exp` (i x. x))) -> (x e. RR /\ z = (exp` (i x. x))))
16	15	r19.22i2 1733	. . . . . 6 |- (E.x e. (0[,)(2 x. pi))z = (exp` (i x. x)) -> E.x e. RR z = (exp` (i x. x)))
17	6, 16	syl 10	. . . . 5 |- (z e. C -> E.x e. RR z = (exp` (i x. x)))
18		visset 1813	. . . . . 6 |- z e. V
19		eqeq1 1481	. . . . . . 7 |- (y = z -> (y = (exp` (i x. x)) <-> z = (exp` (i x. x))))
20	19	rexbidv 1664	. . . . . 6 |- (y = z -> (E.x e. RR y = (exp` (i x. x)) <-> E.x e. RR z = (exp` (i x. x))))
21	18, 20	elab 1897	. . . . 5 |- (z e. {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))} <-> E.x e. RR z = (exp` (i x. x)))
22	17, 21	sylibr 200	. . . 4 |- (z e. C -> z e. {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))})
23		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (z = (exp` (i x. x)) -> (z e. C <-> (exp` (i x. x)) e. C))
24	3	efielcirc 8739	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> (exp` (i x. x)) e. C)
25	23, 24	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (z = (exp` (i x. x)) -> z e. C))
26	25	r19.23aiv 1743	. . . . 5 |- (E.x e. RR z = (exp` (i x. x)) -> z e. C)
27	21, 26	sylbi 199	. . . 4 |- (z e. {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))} -> z e. C)
28	22, 27	impbi 157	. . 3 |- (z e. C <-> z e. {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))})
29	28	eqriv 1474	. 2 |- C = {y | E.x e. RR y = (exp` (i x. x))}
30		circgrp.2	. 2 |- T = ( x. |` (C X. C))
31		axicn 5270	. 2 |- i e. CC
32		axresscn 5268	. 2 |- RR (_ CC
33		readdsubg 8129	. 2 |- ( + |` (RR X. RR)) e. (SubGrp` + )
34	29, 30, 31, 32, 33	efghgrpi 8720	1 |- T e. Abel

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  {crab 1648   class class class wbr 2619   X. cxp 3168   |` cres 3172  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235  ici 5236   x. cmul 5239   <_ cle 5295   < clt 5486  2c2 5961  [,)cico 6359  abscabs 6750  expce 7293  picpi 7297  Abelcabl 8099

This theorem is referenced by:  shftefif1olem 8741

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-7 5975  df-8 5976  df-9 5977  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-rp 6281  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-ioc 6362  df-ico 6363  df-icc 6364  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-cos 7301  df-pi 7302  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-subg 8115

Copyright terms: Public domain