Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circum Structured version   Unicode version

Theorem circum 25142
 Description: The circumference of a circle of radius , defined as the limit as of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is . (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1
circum.2
circum.3
Assertion
Ref Expression
circum
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem circum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10552 . . . 4
2 1z 10342 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 pire 20403 . . . . . . . . . . 11
5 pipos 20404 . . . . . . . . . . 11
64, 5elrpii 10646 . . . . . . . . . 10
7 nnrp 10652 . . . . . . . . . 10
8 rpdivcl 10665 . . . . . . . . . 10
96, 7, 8sylancr 646 . . . . . . . . 9
109rprene0d 10687 . . . . . . . 8
11 eldifsn 3951 . . . . . . . 8
1210, 11sylibr 205 . . . . . . 7
1312adantl 454 . . . . . 6
14 eqidd 2443 . . . . . 6
15 eqidd 2443 . . . . . 6
16 fveq2 5757 . . . . . . 7
17 id 21 . . . . . . 7
1816, 17oveq12d 6128 . . . . . 6
1913, 14, 15, 18fmptco 5930 . . . . 5
20 eqid 2442 . . . . . . 7
2120, 12fmpti 5921 . . . . . 6
224recni 9133 . . . . . . 7
23 divcnv 12664 . . . . . . 7
2422, 23mp1i 12 . . . . . 6
25 sinccvg 25141 . . . . . 6
2621, 24, 25sylancr 646 . . . . 5
2719, 26eqbrtrrd 4259 . . . 4
28 2re 10100 . . . . . . . 8
2928, 4remulcli 9135 . . . . . . 7
30 circum.3 . . . . . . 7
3129, 30remulcli 9135 . . . . . 6
3231recni 9133 . . . . 5
3332a1i 11 . . . 4
34 circum.2 . . . . . 6
35 nnex 10037 . . . . . . 7
3635mptex 5995 . . . . . 6
3734, 36eqeltri 2512 . . . . 5
3837a1i 11 . . . 4
39 eqid 2442 . . . . . . . . . 10
40 eldifi 3455 . . . . . . . . . . . 12
4140resincld 12775 . . . . . . . . . . 11
42 eldifsni 3952 . . . . . . . . . . 11
4341, 40, 42redivcld 9873 . . . . . . . . . 10
4439, 43fmpti 5921 . . . . . . . . 9
45 fco 5629 . . . . . . . . 9
4644, 21, 45mp2an 655 . . . . . . . 8
4719trud 1333 . . . . . . . . 9
4847feq1i 5614 . . . . . . . 8
4946, 48mpbi 201 . . . . . . 7
5049ffvelrni 5898 . . . . . 6
5150adantl 454 . . . . 5
5251recnd 9145 . . . 4
5328recni 9133 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
5522a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 nncn 10039 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 nnne0 10063 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
6054, 55, 57, 59divassd 9856 . . . . . . . . . . . . . 14
6160oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . 13
62 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 nndivre 10066 . . . . . . . . . . . . . . . 16
644, 62, 63sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . 14
66 2ne0 10114 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
6865, 54, 67divcan3d 9826 . . . . . . . . . . . . 13
6961, 68eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12
7069fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11
7164resincld 12775 . . . . . . . . . . . . 13
7271recnd 9145 . . . . . . . . . . . 12
73 nnrp 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
75 rpdivcl 10665 . . . . . . . . . . . . . 14
766, 74, 75sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13
7776rpne0d 10684 . . . . . . . . . . . 12
7872, 65, 77divcan2d 9823 . . . . . . . . . . 11
7970, 78eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10
8079oveq2d 6126 . . . . . . . . 9
8130recni 9133 . . . . . . . . . . 11
8281a1i 11 . . . . . . . . . 10
83 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . 14
8584, 83oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . 13
86 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . 13
87 ovex 6135 . . . . . . . . . . . . 13
8885, 86, 87fvmpt 5835 . . . . . . . . . . . 12
8988adantl 454 . . . . . . . . . . 11
9089, 52eqeltrrd 2517 . . . . . . . . . 10
9182, 65, 90mulassd 9142 . . . . . . . . 9
9280, 91eqtr4d 2477 . . . . . . . 8
9392oveq2d 6126 . . . . . . 7
94 mulcl 9105 . . . . . . . . 9
9553, 57, 94sylancr 646 . . . . . . . 8
96 mulcl 9105 . . . . . . . . 9
9781, 65, 96sylancr 646 . . . . . . . 8
9895, 97, 90mulassd 9142 . . . . . . 7
9993, 98eqtr4d 2477 . . . . . 6
10054, 57, 82, 65mul4d 9309 . . . . . . . 8
10155, 57, 59divcan2d 9823 . . . . . . . . . 10
102101oveq2d 6126 . . . . . . . . 9
10354, 82, 55mul32d 9307 . . . . . . . . 9
104102, 103eqtrd 2474 . . . . . . . 8
105100, 104eqtrd 2474 . . . . . . 7
106105oveq1d 6125 . . . . . 6
10799, 106eqtrd 2474 . . . . 5
108 oveq2 6118 . . . . . . . 8
109 circum.1 . . . . . . . . . . . 12
110 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . 12
111109, 110syl5eq 2486 . . . . . . . . . . 11
112111oveq1d 6125 . . . . . . . . . 10
113112fveq2d 5761 . . . . . . . . 9
114113oveq2d 6126 . . . . . . . 8
115108, 114oveq12d 6128 . . . . . . 7
116 ovex 6135 . . . . . . 7
117115, 34, 116fvmpt 5835 . . . . . 6
118117adantl 454 . . . . 5
11989oveq2d 6126 . . . . 5
120107, 118, 1193eqtr4d 2484 . . . 4
1211, 3, 27, 33, 38, 52, 120climmulc2 12461 . . 3
122121trud 1333 . 2
12332mulid1i 9123 . 2
124122, 123breqtri 4260 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 360   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  cvv 2962   cdif 3303  csn 3838   class class class wbr 4237   cmpt 4291   ccom 4911  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc 9019  cr 9020  cc0 9021  c1 9022   cmul 9026   cdiv 9708  cn 10031  c2 10080  cz 10313  crp 10643   cli 12309  csin 12697  cpi 12700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704  df-pi 12706  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-limc 19784  df-dv 19785
 Copyright terms: Public domain W3C validator