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Theorem circum 25142
Description: The circumference of a circle of radius  R, defined as the limit as  n  ~~>  +oo of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is  ( (
2  x.  pi )  x.  R ). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
circum.2  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
circum.3  |-  R  e.  RR
Assertion
Ref Expression
circum  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Distinct variable group:    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    P( n)

Proof of Theorem circum
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10552 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10342 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 pire 20403 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
5 pipos 20404 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
64, 5elrpii 10646 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
7 nnrp 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
8 rpdivcl 10665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
96, 7, 8sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  RR+ )
109rprene0d 10687 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  n
)  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
11 eldifsn 3951 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  n )  e.  ( RR  \  { 0 } )  <-> 
( ( pi  /  n )  e.  RR  /\  ( pi  /  n
)  =/=  0 ) )
1210, 11sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
1312adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
pi  /  n )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
14 eqidd 2443 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )
15 eqidd 2443 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) )
16 fveq2 5757 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  (
pi  /  n )
) )
17 id 21 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  y  =  ( pi  /  n ) )
1816, 17oveq12d 6128 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( pi  /  n )  ->  (
( sin `  y
)  /  y )  =  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
1913, 14, 15, 18fmptco 5930 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) )
20 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )
2120, 12fmpti 5921 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } )
224recni 9133 . . . . . . 7  |-  pi  e.  CC
23 divcnv 12664 . . . . . . 7  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )
2422, 23mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) )  ~~>  0 )
25 sinccvg 25141 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n
) ) : NN --> ( RR  \  { 0 } )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) )  ~~>  0 )  -> 
( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2621, 24, 25sylancr 646 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( y  e.  ( RR  \  {
0 } )  |->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
2719, 26eqbrtrrd 4259 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )  ~~>  1 )
28 2re 10100 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2928, 4remulcli 9135 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
30 circum.3 . . . . . . 7  |-  R  e.  RR
3129, 30remulcli 9135 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  RR
3231recni 9133 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  e.  CC
3332a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  e.  CC )
34 circum.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) ) ) )
35 nnex 10037 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
3635mptex 5995 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 2  x.  n )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) ) )  e. 
_V
3734, 36eqeltri 2512 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
3837a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  P  e.  _V )
39 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) )
40 eldifi 3455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  e.  RR )
4140resincld 12775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( sin `  y
)  e.  RR )
42 eldifsni 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
4341, 40, 42redivcld 9873 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( ( sin `  y )  /  y
)  e.  RR )
4439, 43fmpti 5921 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \  { 0 } ) 
|->  ( ( sin `  y
)  /  y ) ) : ( RR 
\  { 0 } ) --> RR
45 fco 5629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) ) : ( RR  \  { 0 } ) --> RR  /\  ( n  e.  NN  |->  ( pi 
/  n ) ) : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )  ->  (
( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR )
4644, 21, 45mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
4719trud 1333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( RR 
\  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y
) )  o.  (
n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) )
4847feq1i 5614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  y )  /  y ) )  o.  ( n  e.  NN  |->  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) : NN --> RR )
4946, 48mpbi 201 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) ) : NN --> RR
5049ffvelrni 5898 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
5150adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  RR )
5251recnd 9145 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  e.  CC )
5328recni 9133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
5522a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
56 nncn 10039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5756adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
58 nnne0 10063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5958adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
6054, 55, 57, 59divassd 9856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  pi )  /  k )  =  ( 2  x.  (
pi  /  k )
) )
6160oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( pi  / 
k ) )  / 
2 ) )
62 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
63 nndivre 10066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( pi  /  k
)  e.  RR )
644, 62, 63sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR )
6564recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  CC )
66 2ne0 10114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  =/=  0 )
6865, 54, 67divcan3d 9826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  (
pi  /  k )
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
6961, 68eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 )  =  ( pi  / 
k ) )
7069fveq2d 5761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
7164resincld 12775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  RR )
7271recnd 9145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( pi  / 
k ) )  e.  CC )
73 nnrp 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
7473adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR+ )
75 rpdivcl 10665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
766, 74, 75sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  e.  RR+ )
7776rpne0d 10684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
pi  /  k )  =/=  0 )
7872, 65, 77divcan2d 9823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
7970, 78eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
8079oveq2d 6126 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( R  x.  (
( pi  /  k
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
8130recni 9133 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e.  CC
8281a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
83 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
pi  /  n )  =  ( pi  / 
k ) )
8483fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( pi  /  n ) )  =  ( sin `  (
pi  /  k )
) )
8584, 83oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
86 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi 
/  n ) )  /  ( pi  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) )
87 ovex 6135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) )  e. 
_V
8885, 86, 87fvmpt 5835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
8988adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k )  =  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )
9089, 52eqeltrrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) )  e.  CC )
9182, 65, 90mulassd 9142 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( R  x.  ( ( pi  / 
k )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) ) )
9280, 91eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) ) )  =  ( ( R  x.  ( pi  /  k
) )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
9392oveq2d 6126 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  (
( R  x.  (
pi  /  k )
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) ) )
94 mulcl 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
9553, 57, 94sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
96 mulcl 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CC  /\  ( pi  /  k
)  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k
) )  e.  CC )
9781, 65, 96sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( pi  /  k ) )  e.  CC )
9895, 97, 90mulassd 9142 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( R  x.  ( pi 
/  k ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) ) ) )
9993, 98eqtr4d 2477 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  (
pi  /  k )
) )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
10054, 57, 82, 65mul4d 9309 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  ( k  x.  (
pi  /  k )
) ) )
10155, 57, 59divcan2d 9823 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( pi 
/  k ) )  =  pi )
102101oveq2d 6126 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  pi ) )
10354, 82, 55mul32d 9307 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  pi )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
104102, 103eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  ( k  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
105100, 104eqtrd 2474 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( pi  / 
k ) ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R ) )
106105oveq1d 6125 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( pi  /  k ) ) )  x.  ( ( sin `  ( pi  /  k
) )  /  (
pi  /  k )
) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( sin `  ( pi 
/  k ) )  /  ( pi  / 
k ) ) ) )
10799, 106eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  (
( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
108 oveq2 6118 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
109 circum.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( ( 2  x.  pi )  /  n
)
110 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  pi )  /  n )  =  ( ( 2  x.  pi )  /  k
) )
111109, 110syl5eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  A  =  ( ( 2  x.  pi )  / 
k ) )
112111oveq1d 6125 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  / 
k )  /  2
) )
113112fveq2d 5761 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) )
114113oveq2d 6126 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2
) ) )  =  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )
115108, 114oveq12d 6128 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  ( R  x.  ( sin `  ( A  /  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  k
)  x.  ( R  x.  ( sin `  (
( ( 2  x.  pi )  /  k
)  /  2 ) ) ) ) )
116 ovex 6135 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) )  e.  _V
117115, 34, 116fvmpt 5835 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
118117adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( 2  x.  k )  x.  ( R  x.  ( sin `  ( ( ( 2  x.  pi )  /  k )  / 
2 ) ) ) ) )
11989oveq2d 6126 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  pi )  x.  R
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  (
pi  /  n )
)  /  ( pi 
/  n ) ) ) `  k ) )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( sin `  (
pi  /  k )
)  /  ( pi 
/  k ) ) ) )
120107, 118, 1193eqtr4d 2484 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sin `  ( pi  /  n
) )  /  (
pi  /  n )
) ) `  k
) ) )
1211, 3, 27, 33, 38, 52, 120climmulc2 12461 . . 3  |-  (  T. 
->  P  ~~>  ( (
( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 ) )
122121trud 1333 . 2  |-  P  ~~>  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )
12332mulid1i 9123 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  R )  x.  1 )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
124122, 123breqtri 4260 1  |-  P  ~~>  ( ( 2  x.  pi )  x.  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   _Vcvv 2962    \ cdif 3303   {csn 3838   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291    o. ccom 4911   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    x. cmul 9026    / cdiv 9708   NNcn 10031   2c2 10080   ZZcz 10313   RR+crp 10643    ~~> cli 12309   sincsin 12697   picpi 12700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704  df-pi 12706  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-limc 19784  df-dv 19785
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