MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjneg Structured version   Unicode version

Theorem cjneg 11944
Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )

Proof of Theorem cjneg
StepHypRef Expression
1 recl 11907 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 9106 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 9041 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
4 imcl 11908 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 9106 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 9066 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7neg2subd 9420 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Re `  A
)  -  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  -  ( Re `  A ) ) )
9 reneg 11922 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
10 imneg 11930 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
1110oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  -u A ) )  =  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) )
12 mulneg2 9463 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
133, 5, 12sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1411, 13eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  -u A ) )  = 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
159, 14oveq12d 6091 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  -  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
162, 7negsubdi2d 9419 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  -  ( Re `  A ) ) )
178, 15, 163eqtr4d 2477 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) )  =  -u ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
18 negcl 9298 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
19 remim 11914 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( * `  -u A
)  =  ( ( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) ) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  ( ( Re
`  -u A )  -  ( _i  x.  (
Im `  -u A ) ) ) )
21 remim 11914 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2221negeqd 9292 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
* `  A )  =  -u ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2317, 20, 223eqtr4d 2477 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   _ici 8984    x. cmul 8987    - cmin 9283   -ucneg 9284   *ccj 11893   Recre 11894   Imcim 11895
This theorem is referenced by:  cjsub  11946  cjnegi  11979  cjnegd  12008  absneg  12074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898
  Copyright terms: Public domain W3C validator