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Theorem cjneg 11880
Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )

Proof of Theorem cjneg
StepHypRef Expression
1 recl 11843 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 9048 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 8983 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
4 imcl 11844 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 9048 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 9008 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7neg2subd 9361 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Re `  A
)  -  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  -  ( Re `  A ) ) )
9 reneg 11858 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
10 imneg 11866 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
1110oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  -u A ) )  =  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) )
12 mulneg2 9404 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
133, 5, 12sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1411, 13eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  -u A ) )  = 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
159, 14oveq12d 6039 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  -  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
162, 7negsubdi2d 9360 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  -  ( Re `  A ) ) )
178, 15, 163eqtr4d 2430 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) )  =  -u ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
18 negcl 9239 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
19 remim 11850 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( * `  -u A
)  =  ( ( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) ) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  ( ( Re
`  -u A )  -  ( _i  x.  (
Im `  -u A ) ) ) )
21 remim 11850 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2221negeqd 9233 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
* `  A )  =  -u ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2317, 20, 223eqtr4d 2430 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   _ici 8926    x. cmul 8929    - cmin 9224   -ucneg 9225   *ccj 11829   Recre 11830   Imcim 11831
This theorem is referenced by:  cjsub  11882  cjnegi  11915  cjnegd  11944  absneg  12010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-2 9991  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834
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