MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl Unicode version

Theorem clatglbcl 14461
Description: GLB always exists in a complete lattice. (chintcl 22675 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglbcl.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )

Proof of Theorem clatglbcl
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2380 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 clatglbcl.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3clatlem 14459 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  (
( ( lub `  K
) `  S )  e.  B  /\  ( G `  S )  e.  B ) )
54simprd 450 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   ` cfv 5387   Basecbs 13389   lubclub 14319   glbcglb 14320   CLatccla 14456
This theorem is referenced by:  isglbd  14464  clatglb  14471  clatglble  14472  clatleglb  14473  clatglbss  14474  glbconN  29542  pmapglbx  29934  diaglbN  31221  diaintclN  31224  dibglbN  31332  dibintclN  31333  dihglblem2N  31460  dihglblem3N  31461  dihglblem4  31463  dihglbcpreN  31466  dihglblem6  31506  dihintcl  31510  dochval2  31518  dochcl  31519  dochvalr  31523  dochss  31531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-iota 5351  df-fv 5395  df-clat 14457
  Copyright terms: Public domain W3C validator