MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl Unicode version

Theorem clatglbcl 14234
Description: GLB always exists in a complete lattice. (chintcl 21927 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglbcl.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )

Proof of Theorem clatglbcl
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 clatglbcl.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3clatlem 14232 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  (
( ( lub `  K
) `  S )  e.  B  /\  ( G `  S )  e.  B ) )
54simprd 449 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lubclub 14092   glbcglb 14093   CLatccla 14229
This theorem is referenced by:  isglbd  14237  clatglb  14244  clatglble  14245  clatleglb  14246  clatglbss  14247  glbconN  30188  pmapglbx  30580  diaglbN  31867  diaintclN  31870  dibglbN  31978  dibintclN  31979  dihglblem2N  32106  dihglblem3N  32107  dihglblem4  32109  dihglbcpreN  32112  dihglblem6  32152  dihintcl  32156  dochval2  32164  dochcl  32165  dochvalr  32169  dochss  32177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-clat 14230
  Copyright terms: Public domain W3C validator