MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl Unicode version

Theorem clatglbcl 14218
Description: GLB always exists in a complete lattice. (chintcl 21911 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglbcl.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )

Proof of Theorem clatglbcl
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 clatglbcl.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3clatlem 14216 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  (
( ( lub `  K
) `  S )  e.  B  /\  ( G `  S )  e.  B ) )
54simprd 449 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lubclub 14076   glbcglb 14077   CLatccla 14213
This theorem is referenced by:  isglbd  14221  clatglb  14228  clatglble  14229  clatleglb  14230  clatglbss  14231  glbconN  29566  pmapglbx  29958  diaglbN  31245  diaintclN  31248  dibglbN  31356  dibintclN  31357  dihglblem2N  31484  dihglblem3N  31485  dihglblem4  31487  dihglbcpreN  31490  dihglblem6  31530  dihintcl  31534  dochval2  31542  dochcl  31543  dochvalr  31547  dochss  31555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-clat 14214
  Copyright terms: Public domain W3C validator