MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglble Unicode version

Theorem clatglble 14322
Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
clatglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatglble  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  X )

Proof of Theorem clatglble
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 clatglb.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
31, 2clatglbcl 14311 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
4 clatglb.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2glble 14213 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  /\  ( ( G `  S )  e.  B  /\  X  e.  S
) )  ->  ( G `  S )  .<_  X )
65exp32 588 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  (
( G `  S
)  e.  B  -> 
( X  e.  S  ->  ( G `  S
)  .<_  X ) ) )
73, 6mpd 14 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( X  e.  S  ->  ( G `  S ) 
.<_  X ) )
873impia 1148 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   class class class wbr 4102   ` cfv 5334   Basecbs 13239   lecple 13306   glbcglb 14170   CLatccla 14306
This theorem is referenced by:  clatleglb  14323  clatglbss  14324  diaglbN  31297  diaintclN  31300  dibglbN  31408  dibintclN  31409  dihglblem2N  31536  dihglblem4  31539  dihglbcpreN  31542  dochvalr  31599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-undef 6382  df-riota 6388  df-glb 14202  df-clat 14307
  Copyright terms: Public domain W3C validator