MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglble Unicode version

Theorem clatglble 14507
Description: The greatest lower bound is the least element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
clatglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatglble  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  X )

Proof of Theorem clatglble
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 clatglb.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
31, 2clatglbcl 14496 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
4 clatglb.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2glble 14398 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  /\  ( ( G `  S )  e.  B  /\  X  e.  S
) )  ->  ( G `  S )  .<_  X )
65exp32 589 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  (
( G `  S
)  e.  B  -> 
( X  e.  S  ->  ( G `  S
)  .<_  X ) ) )
73, 6mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( X  e.  S  ->  ( G `  S ) 
.<_  X ) )
873impia 1150 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   Basecbs 13424   lecple 13491   glbcglb 14355   CLatccla 14491
This theorem is referenced by:  clatleglb  14508  clatglbss  14509  diaglbN  31538  diaintclN  31541  dibglbN  31649  dibintclN  31650  dihglblem2N  31777  dihglblem4  31780  dihglbcpreN  31783  dochvalr  31840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-undef 6502  df-riota 6508  df-glb 14387  df-clat 14492
  Copyright terms: Public domain W3C validator