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Theorem clatl 14472
Description: A complete lattice is a lattice. (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
clatl  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )

Proof of Theorem clatl
Dummy variables  x  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2904 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2 vex 2904 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
31, 2prss 3897 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  <->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K )
)
4 zfpair 4344 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
5 sseq1 3314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
s  C_  ( Base `  K )  <->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K )
) )
6 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( lub `  K
) `  s )  =  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } ) )
76eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
8 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( glb `  K
) `  s )  =  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } ) )
98eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
107, 9anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) )  <->  ( (
( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
115, 10imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( s  C_  ( Base `  K )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  <->  ( {
x ,  y } 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
124, 11spcv 2987 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( { x ,  y }  C_  ( Base `  K )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
) ) ) )
1312imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. s ( s 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) )  /\  {
x ,  y } 
C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) )
143, 13sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A. s ( s 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) )  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
) ) )
15143adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) )
16 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
18 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
1916, 17, 18joinval 14374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( join `  K )
y )  =  ( ( lub `  K
) `  { x ,  y } ) )
2019eleq1d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
21 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
22 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
2316, 21, 22meetval 14381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( meet `  K )
y )  =  ( ( glb `  K
) `  { x ,  y } ) )
2423eleq1d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( meet `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
2520, 24anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( x ( join `  K ) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
26253expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
27263adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
2815, 27mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) )
29283exp 1152 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
3029ralrimdvv 2745 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3130imdistani 672 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) ) )  ->  ( K  e. 
Poset  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3216, 17, 21isclat 14467 . 2  |-  ( K  e.  CLat  <->  ( K  e. 
Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  (
( ( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
3316, 18, 22islat 14405 . 2  |-  ( K  e.  Lat  <->  ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3431, 32, 333imtr4i 258 1  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651    C_ wss 3265   {cpr 3760   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   Posetcpo 14326   lubclub 14328   glbcglb 14329   joincjn 14330   meetcmee 14331   Latclat 14403   CLatccla 14465
This theorem is referenced by:  lubel  14478  lubun  14479  clatleglb  14482  lubunNEW  29090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-join 14362  df-meet 14363  df-lat 14404  df-clat 14466
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