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Theorem clatl 14220
Description: A complete lattice is a lattice. (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
clatl  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )

Proof of Theorem clatl
Dummy variables  x  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
31, 2prss 3769 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  <->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K )
)
4 zfpair 4212 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
5 sseq1 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
s  C_  ( Base `  K )  <->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K )
) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( lub `  K
) `  s )  =  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } ) )
76eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
8 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( glb `  K
) `  s )  =  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } ) )
98eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
107, 9anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) )  <->  ( (
( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
115, 10imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( s  C_  ( Base `  K )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  <->  ( {
x ,  y } 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
124, 11spcv 2874 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( { x ,  y }  C_  ( Base `  K )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
) ) ) )
1312imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. s ( s 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) )  /\  {
x ,  y } 
C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) )
143, 13sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A. s ( s 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) )  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
) ) )
15143adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) )
16 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
1916, 17, 18joinval 14122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( join `  K )
y )  =  ( ( lub `  K
) `  { x ,  y } ) )
2019eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
2316, 21, 22meetval 14129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( meet `  K )
y )  =  ( ( glb `  K
) `  { x ,  y } ) )
2423eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( meet `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
2520, 24anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( x ( join `  K ) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
26253expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
27263adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
2815, 27mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) )
29283exp 1150 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
3029ralrimdvv 2637 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3130imdistani 671 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) ) )  ->  ( K  e. 
Poset  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3216, 17, 21isclat 14215 . 2  |-  ( K  e.  CLat  <->  ( K  e. 
Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  (
( ( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
3316, 18, 22islat 14153 . 2  |-  ( K  e.  Lat  <->  ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3431, 32, 333imtr4i 257 1  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {cpr 3641   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   Posetcpo 14074   lubclub 14076   glbcglb 14077   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   CLatccla 14213
This theorem is referenced by:  lubel  14226  lubun  14227  clatleglb  14230  lubunNEW  29163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-join 14110  df-meet 14111  df-lat 14152  df-clat 14214
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