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Theorem clatl 14236
Description: A complete lattice is a lattice. (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
clatl  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )

Proof of Theorem clatl
Dummy variables  x  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
31, 2prss 3785 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  <->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K )
)
4 zfpair 4228 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
5 sseq1 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
s  C_  ( Base `  K )  <->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K )
) )
6 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( lub `  K
) `  s )  =  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } ) )
76eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
8 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( glb `  K
) `  s )  =  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } ) )
98eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
107, 9anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) )  <->  ( (
( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
115, 10imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( s  C_  ( Base `  K )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  <->  ( {
x ,  y } 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
124, 11spcv 2887 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( { x ,  y }  C_  ( Base `  K )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
) ) ) )
1312imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. s ( s 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) )  /\  {
x ,  y } 
C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) )
143, 13sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A. s ( s 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) )  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
) ) )
15143adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) )
16 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
1916, 17, 18joinval 14138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( join `  K )
y )  =  ( ( lub `  K
) `  { x ,  y } ) )
2019eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
2316, 21, 22meetval 14145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( meet `  K )
y )  =  ( ( glb `  K
) `  { x ,  y } ) )
2423eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( meet `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
2520, 24anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( x ( join `  K ) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
26253expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
27263adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
2815, 27mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) )
29283exp 1150 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
3029ralrimdvv 2650 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3130imdistani 671 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) ) )  ->  ( K  e. 
Poset  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3216, 17, 21isclat 14231 . 2  |-  ( K  e.  CLat  <->  ( K  e. 
Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  (
( ( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
3316, 18, 22islat 14169 . 2  |-  ( K  e.  Lat  <->  ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3431, 32, 333imtr4i 257 1  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   {cpr 3654   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   Posetcpo 14090   lubclub 14092   glbcglb 14093   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   CLatccla 14229
This theorem is referenced by:  lubel  14242  lubun  14243  clatleglb  14246  lubunNEW  29785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-join 14126  df-meet 14127  df-lat 14168  df-clat 14230
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