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Theorem clatl 14535
Description: A complete lattice is a lattice. (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
clatl  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )

Proof of Theorem clatl
Dummy variables  x  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
31, 2prss 3944 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  <->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K )
)
4 zfpair 4393 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  e.  _V
5 sseq1 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
s  C_  ( Base `  K )  <->  { x ,  y }  C_  ( Base `  K )
) )
6 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( lub `  K
) `  s )  =  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } ) )
76eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
8 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( glb `  K
) `  s )  =  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } ) )
98eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
107, 9anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) )  <->  ( (
( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
115, 10imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x ,  y }  ->  (
( s  C_  ( Base `  K )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  <->  ( {
x ,  y } 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
124, 11spcv 3034 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( { x ,  y }  C_  ( Base `  K )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
) ) ) )
1312imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. s ( s 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) )  /\  {
x ,  y } 
C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( lub `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) )
143, 13sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A. s ( s 
C_  ( Base `  K
)  ->  ( (
( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) )  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
) ) )
15143adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) )
16 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
18 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
1916, 17, 18joinval 14437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( join `  K )
y )  =  ( ( lub `  K
) `  { x ,  y } ) )
2019eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( lub `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
22 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
2316, 21, 22meetval 14444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( meet `  K )
y )  =  ( ( glb `  K
) `  { x ,  y } ) )
2423eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( meet `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  <->  ( ( glb `  K ) `  {
x ,  y } )  e.  ( Base `  K ) ) )
2520, 24anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( x ( join `  K ) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
26253expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
27263adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
)  <->  ( ( ( lub `  K ) `
 { x ,  y } )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  { x ,  y } )  e.  (
Base `  K )
) ) )
2815, 27mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) )
29283exp 1152 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
3029ralrimdvv 2792 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  K ) A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3130imdistani 672 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  ( ( ( lub `  K ) `  s
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( glb `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
) ) ) )  ->  ( K  e. 
Poset  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3216, 17, 21isclat 14530 . 2  |-  ( K  e.  CLat  <->  ( K  e. 
Poset  /\  A. s ( s  C_  ( Base `  K )  ->  (
( ( lub `  K
) `  s )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( glb `  K ) `  s )  e.  (
Base `  K )
) ) ) )
3316, 18, 22islat 14468 . 2  |-  ( K  e.  Lat  <->  ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( join `  K
) y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( x
( meet `  K )
y )  e.  (
Base `  K )
) ) )
3431, 32, 333imtr4i 258 1  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   {cpr 3807   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   Posetcpo 14389   lubclub 14391   glbcglb 14392   joincjn 14393   meetcmee 14394   Latclat 14466   CLatccla 14528
This theorem is referenced by:  lubel  14541  lubun  14542  clatleglb  14545  lubunNEW  29698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-join 14425  df-meet 14426  df-lat 14467  df-clat 14529
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