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Theorem clatleglb 14545
Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
clatglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatleglb  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, G    y, K    y,  .<_   
y, S    y, X

Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 clatglb.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 clatglb.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3clatglble 14544 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  y )
543expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S
)  ->  ( G `  S )  .<_  y )
653adantl2 1114 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S
)  .<_  y )
7 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
8 clatl 14535 . . . . . 6  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
10 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  X  e.  B )
111, 3clatglbcl 14533 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
12113adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  B )
14 ssel 3334 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  B  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  B ) )
15143ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  B ) )
1615imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
171, 2lattr 14477 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( G `  S
)  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<_  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  .<_  y )  ->  X  .<_  y ) )
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( X  .<_  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  .<_  y )  ->  X  .<_  y ) )
196, 18mpan2d 656 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( X  .<_  ( G `
 S )  ->  X  .<_  y ) )
2019ralrimdva 2788 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  ->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
211, 2, 3clatglb 14543 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
2221simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) )
23 breq1 4207 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  y  <->  X  .<_  y ) )
2423ralbidv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
25 breq1 4207 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  X  .<_  ( G `  S ) ) )
2624, 25imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  ( G `  S ) )  <->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S ) ) ) )
2726rspccv 3041 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S
) )  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) )
2822, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) )
2928ex 424 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( S 
C_  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) ) )
3029com23 74 . . 3  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( X  e.  B  ->  ( S  C_  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) ) )
31303imp 1147 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) )
3220, 31impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   Basecbs 13461   lecple 13528   glbcglb 14392   Latclat 14466   CLatccla 14528
This theorem is referenced by:  clatglbss  14546  pmapglbx  30503  diaglbN  31790  dihglblem2N  32029  dihglbcpreN  32035  dihglblem6  32075  dochvalr  32092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-lat 14467  df-clat 14529
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