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Theorem clatleglb 14481
Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
clatglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatleglb  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, G    y, K    y,  .<_   
y, S    y, X

Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 clatglb.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 clatglb.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3clatglble 14480 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  y )
543expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S
)  ->  ( G `  S )  .<_  y )
653adantl2 1114 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S
)  .<_  y )
7 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
8 clatl 14471 . . . . . 6  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
10 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  X  e.  B )
111, 3clatglbcl 14469 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
12113adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  B )
14 ssel 3286 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  B  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  B ) )
15143ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  B ) )
1615imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
171, 2lattr 14413 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( G `  S
)  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<_  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  .<_  y )  ->  X  .<_  y ) )
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( X  .<_  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  .<_  y )  ->  X  .<_  y ) )
196, 18mpan2d 656 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( X  .<_  ( G `
 S )  ->  X  .<_  y ) )
2019ralrimdva 2740 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  ->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
211, 2, 3clatglb 14479 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
2221simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) )
23 breq1 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  y  <->  X  .<_  y ) )
2423ralbidv 2670 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
25 breq1 4157 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  X  .<_  ( G `  S ) ) )
2624, 25imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  ( G `  S ) )  <->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S ) ) ) )
2726rspccv 2993 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S
) )  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) )
2822, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) )
2928ex 424 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( S 
C_  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) ) )
3029com23 74 . . 3  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( X  e.  B  ->  ( S  C_  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) ) )
31303imp 1147 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) )
3220, 31impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   ` cfv 5395   Basecbs 13397   lecple 13464   glbcglb 14328   Latclat 14402   CLatccla 14464
This theorem is referenced by:  clatglbss  14482  pmapglbx  29884  diaglbN  31171  dihglblem2N  31410  dihglbcpreN  31416  dihglblem6  31456  dochvalr  31473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-undef 6480  df-riota 6486  df-poset 14331  df-glb 14360  df-join 14361  df-meet 14362  df-lat 14403  df-clat 14465
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