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Theorem clatleglb 14230
Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatglb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
clatglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatleglb  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, G    y, K    y,  .<_   
y, S    y, X

Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 clatglb.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 clatglb.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3clatglble 14229 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S )  .<_  y )
543expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S
)  ->  ( G `  S )  .<_  y )
653adantl2 1112 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S
)  .<_  y )
7 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
8 clatl 14220 . . . . . 6  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
10 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  X  e.  B )
111, 3clatglbcl 14218 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
12113adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
1312adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  B )
14 ssel 3174 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  B  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  B ) )
15143ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  e.  B ) )
1615imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
171, 2lattr 14162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( G `  S
)  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .<_  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  .<_  y )  ->  X  .<_  y ) )
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( X  .<_  ( G `  S )  /\  ( G `  S )  .<_  y )  ->  X  .<_  y ) )
196, 18mpan2d 655 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( X  .<_  ( G `
 S )  ->  X  .<_  y ) )
2019ralrimdva 2633 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  ->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
211, 2, 3clatglb 14228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  ( G `  S ) 
.<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) ) )
2221simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S ) ) )
23 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  y  <->  X  .<_  y ) )
2423ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
25 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  ( G `  S )  <->  X  .<_  ( G `  S ) ) )
2624, 25imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  ( G `  S ) )  <->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S ) ) ) )
2726rspccv 2881 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( G `  S
) )  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) )
2822, 27syl 15 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) )
2928ex 423 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( S 
C_  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) ) )
3029com23 72 . . 3  |-  ( K  e.  CLat  ->  ( X  e.  B  ->  ( S  C_  B  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) ) ) )
31303imp 1145 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  X  .<_  y  ->  X  .<_  ( G `  S
) ) )
3220, 31impbid 183 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  B  /\  S  C_  B )  ->  ( X  .<_  ( G `  S )  <->  A. y  e.  S  X  .<_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   glbcglb 14077   Latclat 14151   CLatccla 14213
This theorem is referenced by:  clatglbss  14231  pmapglbx  29331  diaglbN  30618  dihglblem2N  30857  dihglbcpreN  30863  dihglblem6  30903  dochvalr  30920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-lat 14152  df-clat 14214
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