MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatlubcl Unicode version

Theorem clatlubcl 14233
Description: LUB always exists in a complete lattice. (chsupcl 21935 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatlubcl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatlubcl.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatlubcl  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )

Proof of Theorem clatlubcl
StepHypRef Expression
1 clatlubcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 clatlubcl.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
41, 2, 3clatlem 14232 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  (
( U `  S
)  e.  B  /\  ( ( glb `  K
) `  S )  e.  B ) )
54simpld 445 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lubclub 14092   glbcglb 14093   CLatccla 14229
This theorem is referenced by:  lublem  14238  lubss  14241  lubun  14243  oduclatb  14264  lubunNEW  29785  atlatmstc  30131  polsubN  30718  2polvalN  30725  2polssN  30726  3polN  30727  2pmaplubN  30737  paddunN  30738  poldmj1N  30739  pnonsingN  30744  ispsubcl2N  30758  psubclinN  30759  paddatclN  30760  polsubclN  30763  poml4N  30764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-clat 14230
  Copyright terms: Public domain W3C validator