MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatlubcl Unicode version

Theorem clatlubcl 14217
Description: LUB always exists in a complete lattice. (chsupcl 21919 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatlubcl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
clatlubcl.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
clatlubcl  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )

Proof of Theorem clatlubcl
StepHypRef Expression
1 clatlubcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 clatlubcl.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
41, 2, 3clatlem 14216 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  (
( U `  S
)  e.  B  /\  ( ( glb `  K
) `  S )  e.  B ) )
54simpld 445 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lubclub 14076   glbcglb 14077   CLatccla 14213
This theorem is referenced by:  lublem  14222  lubss  14225  lubun  14227  oduclatb  14248  lubunNEW  29163  atlatmstc  29509  polsubN  30096  2polvalN  30103  2polssN  30104  3polN  30105  2pmaplubN  30115  paddunN  30116  poldmj1N  30117  pnonsingN  30122  ispsubcl2N  30136  psubclinN  30137  paddatclN  30138  polsubclN  30141  poml4N  30142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-clat 14214
  Copyright terms: Public domain W3C validator