MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldcls Unicode version

Theorem cldcls 16795
Description: A closed subset equals its own closure. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
cldcls  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )

Proof of Theorem cldcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cldrcl 16779 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
32cldss 16782 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
42clsval 16790 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
51, 3, 4syl2anc 642 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J )  |  S  C_  x } )
6 intmin 3898 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  =  S
)
75, 6eqtrd 2328 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    C_ wss 3165   U.cuni 3843   |^|cint 3878   ` cfv 5271   Topctop 16647   Clsdccld 16769   clsccl 16771
This theorem is referenced by:  iscld3  16817  clsss2  16825  cncls2  17018  lmcld  17047  fclscmp  17741  metnrmlem1a  18378  lebnumlem1  18475  cmetss  18756  minveclem4  18812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772  df-cls 16774
  Copyright terms: Public domain W3C validator