MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldcss Structured version   Unicode version

Theorem cldcss 19347
Description: Corollary of the Projection Theorem: A topologically closed subspace is algebraically closed in Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cldcss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cldcss.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
cldcss.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
cldcss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cldcss  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( U  e.  C  <->  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )

Proof of Theorem cldcss
StepHypRef Expression
1 hlphl 19324 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
2 cldcss.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 cldcss.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
42, 3csslss 16923 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  L )
51, 4sylan 459 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  L )
6 hlcph 19323 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
7 cldcss.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
82, 7csscld 19208 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  ( Clsd `  J
) )
96, 8sylan 459 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  ( Clsd `  J
) )
105, 9jca 520 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  C )  ->  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1113ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  PreHil )
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( proj `  W )  =  (
proj `  W )
1312, 2pjcss 16948 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  dom  ( proj `  W )  C_  C
)
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  dom  ( proj `  W )  C_  C )
157, 3, 12pjth2 19346 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  dom  ( proj `  W
) )
1614, 15sseldd 3351 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  C )
17163expb 1155 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  U  e.  C
)
1810, 17impbida 807 1  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( U  e.  C  <->  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   dom cdm 4881   ` cfv 5457   Basecbs 13474   TopOpenctopn 13654   LSubSpclss 16013   PreHilcphl 16860   CSubSpccss 16893   projcpj 16932   Clsdccld 17085   CPreHilccph 19134   CHilchl 19292
This theorem is referenced by:  cldcss2  19348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-pj1 15276  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-rnghom 15824  df-drng 15842  df-subrg 15871  df-staf 15938  df-srng 15939  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lmhm 16103  df-lvec 16180  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-phl 16862  df-ipf 16863  df-ocv 16895  df-css 16896  df-pj 16935  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-t1 17383  df-haus 17384  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-flim 17976  df-fcls 17978  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-nm 18635  df-ngp 18636  df-tng 18637  df-nlm 18639  df-cncf 18913  df-clm 19093  df-cph 19136  df-tch 19137  df-cfil 19213  df-cmet 19215  df-cms 19293  df-bn 19294  df-hl 19295
  Copyright terms: Public domain W3C validator