MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldcss Unicode version

Theorem cldcss 19303
Description: Corollary of the Projection Theorem: A topologically closed subspace is algebraically closed in Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cldcss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cldcss.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
cldcss.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
cldcss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
cldcss  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( U  e.  C  <->  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )

Proof of Theorem cldcss
StepHypRef Expression
1 hlphl 19280 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
2 cldcss.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 cldcss.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
42, 3csslss 16881 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  L )
51, 4sylan 458 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  L )
6 hlcph 19279 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
7 cldcss.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
82, 7csscld 19164 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  ( Clsd `  J
) )
96, 8sylan 458 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  C )  ->  U  e.  ( Clsd `  J
) )
105, 9jca 519 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  C )  ->  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1113ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  W  e.  PreHil )
12 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( proj `  W )  =  (
proj `  W )
1312, 2pjcss 16906 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  dom  ( proj `  W )  C_  C
)
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  dom  ( proj `  W )  C_  C )
157, 3, 12pjth2 19302 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  dom  ( proj `  W
) )
1614, 15sseldd 3317 . . 3  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  e.  C )
17163expb 1154 . 2  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )  ->  U  e.  C
)
1810, 17impbida 806 1  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( U  e.  C  <->  ( U  e.  L  /\  U  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   dom cdm 4845   ` cfv 5421   Basecbs 13432   TopOpenctopn 13612   LSubSpclss 15971   PreHilcphl 16818   CSubSpccss 16851   projcpj 16890   Clsdccld 17043   CPreHilccph 19090   CHilchl 19248
This theorem is referenced by:  cldcss2  19304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-cntz 15079  df-lsm 15233  df-pj1 15234  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-dvr 15751  df-rnghom 15782  df-drng 15800  df-subrg 15829  df-staf 15896  df-srng 15897  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lmhm 16061  df-lvec 16138  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-phl 16820  df-ipf 16821  df-ocv 16853  df-css 16854  df-pj 16893  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-t1 17340  df-haus 17341  df-cmp 17412  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-flim 17932  df-fcls 17934  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-nm 18591  df-ngp 18592  df-tng 18593  df-nlm 18595  df-cncf 18869  df-clm 19049  df-cph 19092  df-tch 19093  df-cfil 19169  df-cmet 19171  df-cms 19249  df-bn 19250  df-hl 19251
  Copyright terms: Public domain W3C validator