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Theorem cldllycmp 17563
Description: A closed subspace of a locally compact space is also locally compact. (The analogous result for open subspaces follows from the more general nllyrest 17554.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldllycmp  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e. 𝑛Locally  Comp )

Proof of Theorem cldllycmp
Dummy variables  u  v  w  x  y 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 17541 . . 3  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  J  e.  Top )
2 resttop 17229 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 459 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e.  Top )
4 elrest 13660 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  A ) ) )
5 simpll 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
6 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  u  e.  J
)
7 inss1 3563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  A )  C_  u
8 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  y  e.  ( u  i^i  A ) )
97, 8sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  y  e.  u
)
10 nlly2i 17544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  u  e.  J  /\  y  e.  u
)  ->  E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp )
)
115, 6, 9, 10syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. 
Comp ) )
123ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( Jt  A )  e.  Top )
131ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  J  e.  Top )
14 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J ) )
15 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  w  e.  J )
16 elrestr 13661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  ( Clsd `  J )  /\  w  e.  J )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( Jt  A ) )
18 simprr1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  w )
19 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
20 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  ( u  i^i  A ) )
2119, 20sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  A )
22 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( w  i^i 
A )  <->  ( y  e.  w  /\  y  e.  A ) )
2318, 21, 22sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
y  e.  ( w  i^i  A ) )
24 opnneip 17188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( w  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  /\  y  e.  ( w  i^i  A
) )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )
2512, 17, 23, 24syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } ) )
26 simprr2 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  w  C_  s )
27 ssrin 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C_  s  ->  (
w  i^i  A )  C_  ( s  i^i  A
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( w  i^i  A
)  C_  ( s  i^i  A ) )
29 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  C_  A
30 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
3130cldss 17098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A  C_  U. J
)
3214, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  C_  U. J )
3330restuni 17231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
3413, 32, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
3529, 34syl5sseq 3398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  U. ( Jt  A ) )
36 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
3736ssnei2 17185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  (
w  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )  /\  ( ( w  i^i  A ) 
C_  ( s  i^i 
A )  /\  (
s  i^i  A )  C_ 
U. ( Jt  A ) ) )  ->  (
s  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) )
3812, 25, 28, 35, 37syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } ) )
39 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  e.  ~P u
)
4039elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  C_  u )
41 ssrin 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  u  ->  (
s  i^i  A )  C_  ( u  i^i  A
) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  ( u  i^i  A ) )
43 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  s  e. 
_V
4443inex1 4347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  e. 
_V
4544elpw 3807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  i^i  A )  e.  ~P ( u  i^i  A )  <->  ( s  i^i  A )  C_  (
u  i^i  A )
)
4642, 45sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ~P (
u  i^i  A )
)
47 elin 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } )  i^i 
~P ( u  i^i 
A ) )  <->  ( (
s  i^i  A )  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  /\  ( s  i^i 
A )  e.  ~P ( u  i^i  A ) ) )
4838, 46, 47sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) )
4929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  A )
50 restabs 17234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( s  i^i  A
)  C_  A  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
5113, 49, 14, 50syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
52 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  i^i  A )  C_  s
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  C_  s )
54 restabs 17234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( s  i^i  A
)  C_  s  /\  s  e.  ~P u
)  ->  ( ( Jt  s )t  ( s  i^i 
A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i 
A ) ) )
5513, 53, 39, 54syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( Jt  ( s  i^i  A ) ) )
5651, 55eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  =  ( ( Jt  s )t  ( s  i^i 
A ) ) )
57 simprr3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( Jt  s )  e. 
Comp )
58 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  i^i  A )  =  ( A  i^i  s
)
59 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s
)
60 ineq1 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  (
v  i^i  s )  =  ( A  i^i  s ) )
6160eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  (
( A  i^i  s
)  =  ( v  i^i  s )  <->  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s ) ) )
6261rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( A  i^i  s )  =  ( A  i^i  s
) )  ->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) )
6314, 59, 62sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  E. v  e.  ( Clsd `  J ) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) )
64 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  u  e.  J )
65 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  J  ->  u  C_ 
U. J )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  u  C_  U. J )
6740, 66sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
s  C_  U. J )
6830restcld 17241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  ( ( A  i^i  s )  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) ) )
6913, 67, 68syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( A  i^i  s )  e.  (
Clsd `  ( Jt  s
) )  <->  E. v  e.  ( Clsd `  J
) ( A  i^i  s )  =  ( v  i^i  s ) ) )
7063, 69mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( A  i^i  s
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) ) )
7158, 70syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( s  i^i  A
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  s ) ) )
72 cmpcld 17470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Jt  s )  e. 
Comp  /\  ( s  i^i 
A )  e.  (
Clsd `  ( Jt  s
) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
7357, 71, 72syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  s )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
7456, 73eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  -> 
( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) )  e.  Comp )
75 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( s  i^i 
A )  ->  (
( Jt  A )t  v )  =  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A ) ) )
7675eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( s  i^i 
A )  ->  (
( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i 
A ) )  e. 
Comp ) )
7776rspcev 3054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  i^i  A
)  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) )  /\  ( ( Jt  A )t  ( s  i^i  A
) )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
7848, 74, 77syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( ( s  e. 
~P u  /\  w  e.  J )  /\  (
y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp ) ) )  ->  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
7978expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  ( u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A
) ) )  /\  ( s  e.  ~P u  /\  w  e.  J
) )  ->  (
( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e. 
Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8079rexlimdvva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  ( E. s  e.  ~P  u E. w  e.  J  ( y  e.  w  /\  w  C_  s  /\  ( Jt  s )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8111, 80mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  (
u  e.  J  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
8281anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  u  e.  J
)  /\  y  e.  ( u  i^i  A ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
8382ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
84 pweq 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ~P x  =  ~P (
u  i^i  A )
)
8584ineq2d 3544 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x )  =  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  {
y } )  i^i 
~P ( u  i^i 
A ) ) )
8685rexeqdv 2913 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ( E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8786raleqbi1dv 2914 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( u  i^i 
A )  ->  ( A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp  <->  A. y  e.  ( u  i^i  A
) E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P ( u  i^i  A ) ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8883, 87syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
x  =  ( u  i^i  A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
8988rexlimdva 2832 . . . 4  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
904, 89sylbid 208 . . 3  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
9190ralrimiv 2790 . 2  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  A. x  e.  ( Jt  A ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
92 isnlly 17537 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e. 𝑛Locally  Comp  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  ( Jt  A ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( ( Jt  A )t  v )  e.  Comp )
)
933, 91, 92sylanbrc 647 1  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  A  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( Jt  A
)  e. 𝑛Locally  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ↾t crest 13653   Topctop 16963   Clsdccld 17085   neicnei 17166   Compccmp 17454  𝑛Locally cnlly 17533
This theorem is referenced by:  rellycmp  18987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-nei 17167  df-cmp 17455  df-nlly 17535
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