MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldopn Structured version   Unicode version

Theorem cldopn 17087
Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldopn  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  S )  e.  J
)

Proof of Theorem cldopn
StepHypRef Expression
1 cldrcl 17082 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 17083 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simplbda 608 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( X  \  S
)  e.  J )
51, 4mpancom 651 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  S )  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Topctop 16950   Clsdccld 17072
This theorem is referenced by:  difopn  17090  iincld  17095  uncld  17097  iuncld  17101  clsval2  17106  opncldf1  17140  opncldf3  17142  restcld  17228  lecldbas  17275  cnclima  17324  nrmsep2  17412  nrmsep  17413  regsep2  17432  cmpcld  17457  dfcon2  17474  txcld  17627  ptcld  17637  kqcldsat  17757  regr1lem  17763  filcon  17907  cldsubg  18132  limcnlp  19757  dvrec  19833  dvexp3  19854  lhop1lem  19889  abelth  20349  logdmopn  20532  lgamucov  24814  onsucconi  26179  onint1  26191  mblfinlem2  26235  mblfinlem3  26236  ismblfin  26237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-top 16955  df-cld 17075
  Copyright terms: Public domain W3C validator