MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldrcl Structured version   Unicode version

Theorem cldrcl 17090
Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldrcl  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cldrcl
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5757 . 2  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  dom  Clsd )
2 fncld 17086 . . 3  |-  Clsd  Fn  Top
3 fndm 5544 . . 3  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  dom  Clsd  =  Top )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  dom  Clsd  =  Top
51, 4syl6eleq 2526 1  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   dom cdm 4878    Fn wfn 5449   ` cfv 5454   Topctop 16958   Clsdccld 17080
This theorem is referenced by:  cldss  17093  cldopn  17095  difopn  17098  iincld  17103  uncld  17105  cldcls  17106  clsss2  17136  opncldf3  17150  restcldi  17237  restcldr  17238  paste  17358  consubclo  17487  txcld  17635  cldregopn  26334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-fv 5462  df-cld 17083
  Copyright terms: Public domain W3C validator