MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldrcl Unicode version

Theorem cldrcl 16763
Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldrcl  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cldrcl
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5554 . 2  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  dom  Clsd )
2 fncld 16759 . . 3  |-  Clsd  Fn  Top
3 fndm 5343 . . 3  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  dom  Clsd  =  Top )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  dom  Clsd  =  Top
51, 4syl6eleq 2373 1  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  cldss  16766  cldopn  16768  difopn  16771  iincld  16776  uncld  16778  cldcls  16779  clsss2  16809  opncldf3  16823  restcldi  16904  restcldr  16905  paste  17022  consubclo  17150  txcld  17298  cldregopn  26249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator