MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldss Unicode version

Theorem cldss 16782
Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldss  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)

Proof of Theorem cldss
StepHypRef Expression
1 cldrcl 16779 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 16780 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simprbda 606 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  C_  X )
51, 4mpancom 650 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   Clsdccld 16769
This theorem is referenced by:  cldss2  16783  iincld  16792  uncld  16794  cldcls  16795  iuncld  16798  clsval2  16803  clsss3  16812  clsss2  16825  opncldf1  16837  restcldr  16921  lmcld  17047  nrmsep2  17100  nrmsep  17101  isnrm2  17102  regsep2  17120  cmpcld  17145  dfcon2  17161  concompclo  17177  cldllycmp  17237  txcld  17314  ptcld  17323  kqcldsat  17440  kqnrmlem1  17450  kqnrmlem2  17451  nrmhmph  17501  ufildr  17642  metnrmlem1a  18378  metnrmlem1  18379  metnrmlem2  18380  metnrmlem3  18381  cnheiborlem  18468  cmetss  18756  bcthlem5  18766  cldssbrsiga  23533  clsun  26349  cldregopn  26352  cmpfiiin  26875  kelac1  27264  stoweidlem18  27870  stoweidlem57  27909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-top 16652  df-cld 16772
  Copyright terms: Public domain W3C validator