MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldss Unicode version

Theorem cldss 16766
Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldss  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)

Proof of Theorem cldss
StepHypRef Expression
1 cldrcl 16763 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 16764 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simprbda 606 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  C_  X )
51, 4mpancom 650 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  cldss2  16767  iincld  16776  uncld  16778  cldcls  16779  iuncld  16782  clsval2  16787  clsss3  16796  clsss2  16809  opncldf1  16821  restcldr  16905  lmcld  17031  nrmsep2  17084  nrmsep  17085  isnrm2  17086  regsep2  17104  cmpcld  17129  dfcon2  17145  concompclo  17161  cldllycmp  17221  txcld  17298  ptcld  17307  kqcldsat  17424  kqnrmlem1  17434  kqnrmlem2  17435  nrmhmph  17485  ufildr  17626  metnrmlem1a  18362  metnrmlem1  18363  metnrmlem2  18364  metnrmlem3  18365  cnheiborlem  18452  cmetss  18740  bcthlem5  18750  cldssbrsiga  23518  clsun  26246  cldregopn  26249  cmpfiiin  26772  kelac1  27161  stoweidlem18  27767  stoweidlem57  27806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator