MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldss Unicode version

Theorem cldss 17016
Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldss  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)

Proof of Theorem cldss
StepHypRef Expression
1 cldrcl 17013 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 17014 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simprbda 607 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  C_  X )
51, 4mpancom 651 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3260    C_ wss 3263   U.cuni 3957   ` cfv 5394   Topctop 16881   Clsdccld 17003
This theorem is referenced by:  cldss2  17017  iincld  17026  uncld  17028  cldcls  17029  iuncld  17032  clsval2  17037  clsss3  17046  clsss2  17059  opncldf1  17071  restcldr  17160  lmcld  17289  nrmsep2  17342  nrmsep  17343  isnrm2  17344  regsep2  17362  cmpcld  17387  dfcon2  17403  concompclo  17419  cldllycmp  17479  txcld  17556  ptcld  17566  imasncld  17644  kqcldsat  17686  kqnrmlem1  17696  kqnrmlem2  17697  nrmhmph  17747  ufildr  17884  metnrmlem1a  18759  metnrmlem1  18760  metnrmlem2  18761  metnrmlem3  18762  cnheiborlem  18850  cmetss  19138  bcthlem5  19150  cldssbrsiga  24337  clsun  26022  cldregopn  26025  cmpfiiin  26442  kelac1  26830  stoweidlem18  27435  stoweidlem57  27474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-fv 5402  df-top 16886  df-cld 17006
  Copyright terms: Public domain W3C validator