MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldss Structured version   Unicode version

Theorem cldss 17085
Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cldss  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)

Proof of Theorem cldss
StepHypRef Expression
1 cldrcl 17082 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
2 iscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32iscld 17083 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
43simprbda 607 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  S  C_  X )
51, 4mpancom 651 1  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Topctop 16950   Clsdccld 17072
This theorem is referenced by:  cldss2  17086  iincld  17095  uncld  17097  cldcls  17098  iuncld  17101  clsval2  17106  clsss3  17115  clsss2  17128  opncldf1  17140  restcldr  17230  lmcld  17359  nrmsep2  17412  nrmsep  17413  isnrm2  17414  regsep2  17432  cmpcld  17457  dfcon2  17474  concompclo  17490  cldllycmp  17550  txcld  17627  ptcld  17637  imasncld  17715  kqcldsat  17757  kqnrmlem1  17767  kqnrmlem2  17768  nrmhmph  17818  ufildr  17955  metnrmlem1a  18880  metnrmlem1  18881  metnrmlem2  18882  metnrmlem3  18883  cnheiborlem  18971  cmetss  19259  bcthlem5  19273  cldssbrsiga  24533  mblfinlem2  26235  mblfinlem3  26236  ismblfin  26237  clsun  26322  cldregopn  26325  cmpfiiin  26742  kelac1  27129  stoweidlem18  27734  stoweidlem57  27773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-top 16955  df-cld 17075
  Copyright terms: Public domain W3C validator