MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldsubg Unicode version

Theorem cldsubg 17809
Description: A subgroup of finite index is closed iff it is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cldsubg.1  |-  R  =  ( G ~QG  S )
cldsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
cldsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )

Proof of Theorem cldsubg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  TopGrp )
2 subgntr.h . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 cldsubg.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
42, 3tgptopon 17781 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 toponuni 16681 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
75, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  X  =  U. J )
87difeq1d 3306 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) ) )
9 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
10 unisng 3860 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U. { S }  =  S )
119, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. { S }  =  S
)
1211uneq2d 3342 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  ( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S ) )
13 uniun 3862 . . . . . . . 8  |-  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u. 
U. { S }
)
14 undif1 3542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( ( X /. R
)  u.  { S } )
15 cldsubg.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  R  =  ( G ~QG  S )
16 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
173, 15, 16eqgid 14685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
189, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
19 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G ~QG  S )  e.  _V
2015, 19eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  e. 
_V
21 tgpgrp 17777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
221, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  Grp )
233, 16grpidcl 14526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
25 ecelqsg 6730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ( 0g `  G )  e.  X )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R
) )
2620, 24, 25sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R ) )
2718, 26eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
2827snssd 3776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  { S }  C_  ( X /. R ) )
29 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { S }  C_  ( X /. R )  <->  ( ( X /. R )  u. 
{ S } )  =  ( X /. R ) )
3028, 29sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3114, 30syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3231unieqd 3854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  U. ( X /. R ) )
333, 15eqger 14683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  R  Er  X )
349, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  Er  X )
3520a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  e.  _V )
3634, 35uniqs2 6737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. ( X /. R )  =  X )
3732, 36eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  X )
3813, 37syl5eqr 2342 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  X )
3912, 38eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  S
)  =  X )
40 difss 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  C_  ( X /. R )
41 uniss 3864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( X /. R )  ->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  U. ( X /. R ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  U. ( X /. R )
4342, 36syl5sseq 3239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  X
)
44 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  S  <->  -.  x  =  S )
4534adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  R  Er  X )
46 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  x  e.  ( X /. R
) )
4727adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
4845, 46, 47qsdisj 6752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =  S  \/  ( x  i^i  S )  =  (/) ) )
4948ord 366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  ( x  i^i  S
)  =  (/) ) )
50 disj2 3515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  S )  =  (/)  <->  x  C_  ( _V 
\  S ) )
5149, 50syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5244, 51syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =/=  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5352expimpd 586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( x  e.  ( X /. R )  /\  x  =/=  S
)  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
54 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( X /. R )  \  { S } )  <->  ( x  e.  ( X /. R
)  /\  x  =/=  S ) )
55 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5655elpw 3644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( _V 
\  S )  <->  x  C_  ( _V  \  S ) )
5753, 54, 563imtr4g 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  ->  x  e.  ~P ( _V  \  S
) ) )
5857ssrdv 3198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S ) )
59 sspwuni 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S )  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
6058, 59sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
61 disj2 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i 
S )  =  (/)  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
6260, 61sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )
63 uneqdifeq 3555 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  X  /\  ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  u.  S
)  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6443, 62, 63syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S )  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6539, 64mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  S )
668, 65eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  =  S )
67 topontop 16680 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
685, 67syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
69 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  e. 
Fin )
70 diffi 7105 . . . . . . 7  |-  ( ( X /. R )  e.  Fin  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
7169, 70syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
7255elqs 6728 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X /. R )  <->  E. y  e.  X  x  =  [ y ] R
)
73 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
74 subgrcl 14642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
763subgss 14638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  X
)
779, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_  X )
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
79 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
80 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
813, 15, 80eqglact 14684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
8275, 78, 79, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
83 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
84 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )
8584, 3, 80, 2tgplacthmeo 17802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
861, 85sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
8777, 7sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_ 
U. J )
8887adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
89 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
9089hmeocld 17474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  S  C_ 
U. J )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9186, 88, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )
" S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9283, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) )
9382, 92eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  e.  (
Clsd `  J )
)
94 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ y ] R  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  <->  [ y ] R  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9593, 94syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9695rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( E. y  e.  X  x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9772, 96syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( X /. R )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
9897ssrdv 3198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  C_  ( Clsd `  J )
)
9940, 98syl5ss 3203 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )
10089unicld 16799 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  Fin  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )  ->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  ( Clsd `  J
) )
10168, 71, 99, 100syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )
)
10289cldopn 16784 . . . . 5  |-  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )  ->  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  e.  J )
103101, 102syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  e.  J )
10466, 103eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  J )
105104ex 423 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  ->  S  e.  J ) )
1062opnsubg 17806 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
1071063expia 1153 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) ) )
1081073adant3 975 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
109105, 108impbid 183 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    Er wer 6673   [cec 6674   /.cqs 6675   Fincfn 6879   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631   ~QG cqg 14633   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769    Homeo chmeo 17460   TopGrpctgp 17770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-tmd 17771  df-tgp 17772
  Copyright terms: Public domain W3C validator