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Theorem cldsubg 17793
Description: A subgroup of finite index is closed iff it is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cldsubg.1  |-  R  =  ( G ~QG  S )
cldsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
cldsubg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )

Proof of Theorem cldsubg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  TopGrp )
2 subgntr.h . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 cldsubg.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
42, 3tgptopon 17765 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 toponuni 16665 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
75, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  X  =  U. J )
87difeq1d 3293 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) ) )
9 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
10 unisng 3844 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U. { S }  =  S )
119, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. { S }  =  S
)
1211uneq2d 3329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  ( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S ) )
13 uniun 3846 . . . . . . . 8  |-  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u. 
U. { S }
)
14 undif1 3529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( ( X /. R
)  u.  { S } )
15 cldsubg.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  R  =  ( G ~QG  S )
16 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
173, 15, 16eqgid 14669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
189, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  =  S )
19 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G ~QG  S )  e.  _V
2015, 19eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  e. 
_V
21 tgpgrp 17761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
221, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  G  e.  Grp )
233, 16grpidcl 14510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
25 ecelqsg 6714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ( 0g `  G )  e.  X )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R
) )
2620, 24, 25sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  [ ( 0g `  G ) ] R  e.  ( X /. R ) )
2718, 26eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
2827snssd 3760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  { S }  C_  ( X /. R ) )
29 ssequn2 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { S }  C_  ( X /. R )  <->  ( ( X /. R )  u. 
{ S } )  =  ( X /. R ) )
3028, 29sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3114, 30syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  ( X /. R ) )
3231unieqd 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  U. ( X /. R ) )
333, 15eqger 14667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  R  Er  X )
349, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  Er  X )
3520a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  R  e.  _V )
3634, 35uniqs2 6721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. ( X /. R )  =  X )
3732, 36eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( ( X /. R )  \  { S } )  u.  { S } )  =  X )
3813, 37syl5eqr 2329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  U. { S } )  =  X )
3912, 38eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  u.  S
)  =  X )
40 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  C_  ( X /. R )
41 uniss 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( X /. R )  ->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  U. ( X /. R ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  U. ( X /. R )
4342, 36syl5sseq 3226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  X
)
44 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  S  <->  -.  x  =  S )
4534adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  R  Er  X )
46 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  x  e.  ( X /. R
) )
4727adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  S  e.  ( X /. R
) )
4845, 46, 47qsdisj 6736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =  S  \/  ( x  i^i  S )  =  (/) ) )
4948ord 366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  ( x  i^i  S
)  =  (/) ) )
50 disj2 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  S )  =  (/)  <->  x  C_  ( _V 
\  S ) )
5149, 50syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  ( -.  x  =  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5244, 51syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  x  e.  ( X /. R
) )  ->  (
x  =/=  S  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
5352expimpd 586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( x  e.  ( X /. R )  /\  x  =/=  S
)  ->  x  C_  ( _V  \  S ) ) )
54 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( X /. R )  \  { S } )  <->  ( x  e.  ( X /. R
)  /\  x  =/=  S ) )
55 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5655elpw 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( _V 
\  S )  <->  x  C_  ( _V  \  S ) )
5753, 54, 563imtr4g 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  ->  x  e.  ~P ( _V  \  S
) ) )
5857ssrdv 3185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S ) )
59 sspwuni 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X /. R
)  \  { S } )  C_  ~P ( _V  \  S )  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
6058, 59sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
61 disj2 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i 
S )  =  (/)  <->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( _V  \  S ) )
6260, 61sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )
63 uneqdifeq 3542 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  X  /\  ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( ( U. (
( X /. R
)  \  { S } )  u.  S
)  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6443, 62, 63syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
)  u.  S )  =  X  <->  ( X  \ 
U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  =  S ) )
6539, 64mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  U. ( ( X /. R ) 
\  { S }
) )  =  S )
668, 65eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  =  S )
67 topontop 16664 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
685, 67syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
69 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  e. 
Fin )
70 diffi 7089 . . . . . . 7  |-  ( ( X /. R )  e.  Fin  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
7169, 70syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  Fin )
7255elqs 6712 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X /. R )  <->  E. y  e.  X  x  =  [ y ] R
)
73 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
74 subgrcl 14626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
763subgss 14622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  X
)
779, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_  X )
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
79 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
80 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
813, 15, 80eqglact 14668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
8275, 78, 79, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  =  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
83 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
84 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )
8584, 3, 80, 2tgplacthmeo 17786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
861, 85sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
8777, 7sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  C_ 
U. J )
8887adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
89 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
9089hmeocld 17458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  S  C_ 
U. J )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9186, 88, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( (
z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) z ) )
" S )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9283, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) z ) ) " S )  e.  ( Clsd `  J
) )
9382, 92eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  [ y ] R  e.  (
Clsd `  J )
)
94 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ y ] R  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  <->  [ y ] R  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9593, 94syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9695rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( E. y  e.  X  x  =  [ y ] R  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9772, 96syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( X /. R )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
9897ssrdv 3185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X /. R )  C_  ( Clsd `  J )
)
9940, 98syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( X /. R
)  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )
10089unicld 16783 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  Fin  /\  ( ( X /. R )  \  { S } )  C_  ( Clsd `  J ) )  ->  U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  ( Clsd `  J
) )
10168, 71, 99, 100syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U. (
( X /. R
)  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )
)
10289cldopn 16768 . . . . 5  |-  ( U. ( ( X /. R )  \  { S } )  e.  (
Clsd `  J )  ->  ( U. J  \  U. ( ( X /. R )  \  { S } ) )  e.  J )
103101, 102syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  U. (
( X /. R
)  \  { S } ) )  e.  J )
10466, 103eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R )  e. 
Fin )  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  S  e.  J )
105104ex 423 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  ->  S  e.  J ) )
1062opnsubg 17790 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  ( Clsd `  J )
)
1071063expia 1153 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) ) )
1081073adant3 975 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  J  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
109105, 108impbid 183 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( X /. R
)  e.  Fin )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  S  e.  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   [cec 6658   /.cqs 6659   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615   ~QG cqg 14617   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753    Homeo chmeo 17444   TopGrpctgp 17754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-tmd 17755  df-tgp 17756
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