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Theorem cleqh 2380
Description: Establish equality between classes, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Hypotheses
Ref Expression
cleqh.1  |-  ( y  e.  A  ->  A. x  y  e.  A )
cleqh.2  |-  ( y  e.  B  ->  A. x  y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cleqh  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cleqh
StepHypRef Expression
1 dfcleq 2277 . 2  |-  ( A  =  B  <->  A. y
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
2 ax-17 1603 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  ->  A. y
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
3 dfbi2 609 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  <->  y  e.  B )  <->  ( (
y  e.  A  -> 
y  e.  B )  /\  ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) ) )
4 cleqh.1 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  A. x  y  e.  A )
5 cleqh.2 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  A. x  y  e.  B )
64, 5hbim 1725 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  -> 
y  e.  B )  ->  A. x ( y  e.  A  ->  y  e.  B ) )
75, 4hbim 1725 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  -> 
y  e.  A )  ->  A. x ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) )
86, 7hban 1736 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  A  ->  y  e.  B )  /\  ( y  e.  B  ->  y  e.  A ) )  ->  A. x ( ( y  e.  A  ->  y  e.  B )  /\  (
y  e.  B  -> 
y  e.  A ) ) )
93, 8hbxfrbi 1555 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  <->  y  e.  B )  ->  A. x
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
10 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
11 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
1210, 11bibi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( y  e.  A  <->  y  e.  B
) ) )
1312biimpd 198 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  -> 
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) ) )
142, 9, 13cbv3h 1923 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  ->  A. y
( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
1512equcoms 1651 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( y  e.  A  <->  y  e.  B
) ) )
1615biimprd 214 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  A  <->  y  e.  B )  -> 
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
179, 2, 16cbv3h 1923 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  A  <->  y  e.  B
)  ->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1814, 17impbii 180 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  A. y ( y  e.  A  <->  y  e.  B ) )
191, 18bitr4i 243 1  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684
This theorem is referenced by:  abeq2  2388  abeq2f  23129  rabid2f  23135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-ex 1529  df-cleq 2276  df-clel 2279
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