Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2ser Unicode version

Theorem clim2ser 12128
 Description: The limit of an infinite series with an initial segment removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1
clim2ser.2
clim2ser.4
clim2ser.5
Assertion
Ref Expression
clim2ser
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem clim2ser
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2
2 clim2ser.2 . . . . 5
3 clim2ser.1 . . . . 5
42, 3syl6eleq 2373 . . . 4
5 peano2uz 10272 . . . 4
64, 5syl 15 . . 3
7 eluzelz 10238 . . 3
86, 7syl 15 . 2
9 clim2ser.5 . 2
10 eluzel2 10235 . . . . 5
114, 10syl 15 . . . 4
12 clim2ser.4 . . . 4
133, 11, 12serf 11074 . . 3
14 ffvelrn 5663 . . 3
1513, 2, 14syl2anc 642 . 2
16 seqex 11048 . . 3
1716a1i 10 . 2
1813adantr 451 . . 3
196, 3syl6eleqr 2374 . . . 4
203uztrn2 10245 . . . 4
2119, 20sylan 457 . . 3
22 ffvelrn 5663 . . 3
2318, 21, 22syl2anc 642 . 2
24 addcl 8819 . . . . . 6
2524adantl 452 . . . . 5
26 addass 8824 . . . . . 6
2726adantl 452 . . . . 5
28 simpr 447 . . . . 5
294adantr 451 . . . . 5
30 elfzuz 10794 . . . . . . . 8
3130, 3syl6eleqr 2374 . . . . . . 7
3231, 12sylan2 460 . . . . . 6
3332adantlr 695 . . . . 5
3425, 27, 28, 29, 33seqsplit 11079 . . . 4
3534oveq1d 5873 . . 3
3615adantr 451 . . . 4
373uztrn2 10245 . . . . . . . 8
3819, 37sylan 457 . . . . . . 7
3938, 12syldan 456 . . . . . 6
401, 8, 39serf 11074 . . . . 5
41 ffvelrn 5663 . . . . 5
4240, 41sylan 457 . . . 4
4336, 42pncan2d 9159 . . 3
4435, 43eqtr2d 2316 . 2
451, 8, 9, 15, 17, 23, 44climsubc1 12111 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   class class class wbr 4023  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  c1 8738   caddc 8740   cmin 9037  cz 10024  cuz 10230  cfz 10782   cseq 11046   cli 11958 This theorem is referenced by:  iserex  12130  ege2le3  12371  abelthlem9  19816  stirlinglem7  27829  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962
 Copyright terms: Public domain W3C validator