Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2ser2 Unicode version

Theorem clim2ser2 12145
 Description: The limit of an infinite series with an initial segment added. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1
clim2ser.2
clim2ser.4
clim2ser2.5
Assertion
Ref Expression
clim2ser2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem clim2ser2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . 2
2 clim2ser.2 . . . . 5
3 clim2ser.1 . . . . 5
42, 3syl6eleq 2386 . . . 4
5 peano2uz 10288 . . . 4
64, 5syl 15 . . 3
7 eluzelz 10254 . . 3
86, 7syl 15 . 2
9 clim2ser2.5 . 2
10 eluzel2 10251 . . . . 5
114, 10syl 15 . . . 4
12 clim2ser.4 . . . 4
133, 11, 12serf 11090 . . 3
14 ffvelrn 5679 . . 3
1513, 2, 14syl2anc 642 . 2
16 seqex 11064 . . 3
1716a1i 10 . 2
186, 3syl6eleqr 2387 . . . . . 6
193uztrn2 10261 . . . . . 6
2018, 19sylan 457 . . . . 5
2120, 12syldan 456 . . . 4
221, 8, 21serf 11090 . . 3
23 ffvelrn 5679 . . 3
2422, 23sylan 457 . 2
25 addcl 8835 . . . . 5
2625adantl 452 . . . 4
27 addass 8840 . . . . 5
2827adantl 452 . . . 4
29 simpr 447 . . . 4
304adantr 451 . . . 4
31 elfzuz 10810 . . . . . . 7
3231, 3syl6eleqr 2387 . . . . . 6
3332, 12sylan2 460 . . . . 5
3433adantlr 695 . . . 4
3526, 28, 29, 30, 34seqsplit 11095 . . 3
3615adantr 451 . . . 4
3736, 24addcomd 9030 . . 3
3835, 37eqtrd 2328 . 2
391, 8, 9, 15, 17, 24, 38climaddc1 12124 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   class class class wbr 4039  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  c1 8754   caddc 8756  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798   cseq 11062   cli 11974 This theorem is referenced by:  iserex  12146  abelthlem6  19828  abelthlem9  19832  leibpi  20254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978
 Copyright terms: Public domain W3C validator