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Theorem climcau 12495
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
climcau  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k, x

Proof of Theorem climcau
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5095 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  E. y <. F ,  y >.  e. 
~~>  ) )
21ibi 234 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. y <. F ,  y >.  e. 
~~>  )
3 df-br 4238 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  y  <->  <. F ,  y
>.  e.  ~~>  )
4 climcau.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
6 rphalfcl 10667 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
76adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR+ )
8 eqidd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F 
~~>  y )
104, 5, 7, 8, 9climi 12335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
11 eluzelz 10527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
12 uzid 10531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1413, 4eleq2s 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1514adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
16 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1716eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1816oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  -  y )  =  ( ( F `
 j )  -  y ) )
1918fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) ) )
2019breq1d 4247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
2117, 20anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  <-> 
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
2221rspcv 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
2315, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
24 rpre 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2524ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  x  e.  RR )
26 simpllr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  F  ~~>  y )
27 climcl 12324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~>  y  ->  y  e.  CC )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  y  e.  CC )
29 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
30 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
31 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  y  e.  CC )
32 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
33 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )
3431, 30abssubd 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( y  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) ) )
35 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )
3634, 35eqbrtrd 4257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( y  -  ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )
3729, 30, 31, 32, 33, 36abs3lemd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)
3837ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
3938ralimdv 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4039ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4140com23 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4225, 28, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
4323, 42mpdd 39 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
4443reximdva 2824 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4510, 44mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
4645ralrimiva 2795 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F 
~~>  y )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4746ex 425 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  y  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
483, 47syl5bir 211 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( <. F ,  y >.  e. 
~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
4948exlimdv 1647 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. y <. F ,  y
>.  e.  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
502, 49syl5 31 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
5150imp 420 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   E.wrex 2712   <.cop 3841   class class class wbr 4237   dom cdm 4907   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020    < clt 9151    - cmin 9322    / cdiv 9708   2c2 10080   ZZcz 10313   ZZ>=cuz 10519   RR+crp 10643   abscabs 12070    ~~> cli 12309
This theorem is referenced by:  climbdd  12496  caucvgb  12504  cvgcmp  12626  cvgcmpce  12628  mbflimlem  19588  mtest  20351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313
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