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Theorem climcau 12427
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
climcau  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, Z, k, x

Proof of Theorem climcau
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5033 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  ( F  e.  dom  ~~>  <->  E. y <. F ,  y >.  e. 
~~>  ) )
21ibi 233 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ~~>  ->  E. y <. F ,  y >.  e. 
~~>  )
3 df-br 4181 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  y  <->  <. F ,  y
>.  e.  ~~>  )
4 climcau.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
6 rphalfcl 10600 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
76adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR+ )
8 eqidd 2413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F 
~~>  y )
104, 5, 7, 8, 9climi 12267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
11 eluzelz 10460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
12 uzid 10464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1413, 4eleq2s 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1514adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
16 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1716eleq1d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1816oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  -  y )  =  ( ( F `
 j )  -  y ) )
1918fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) ) )
2019breq1d 4190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )
2117, 20anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  <-> 
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) ) ) )
2221rspcv 3016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
2315, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
24 rpre 10582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
2524ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  x  e.  RR )
26 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  F  ~~>  y )
27 climcl 12256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  ~~>  y  ->  y  e.  CC )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  y  e.  CC )
29 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
30 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
31 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  y  e.  CC )
32 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
33 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )
3431, 30abssubd 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( y  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) ) )
35 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )
3634, 35eqbrtrd 4200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( y  -  ( F `  j ) ) )  <  (
x  /  2 ) )
3729, 30, 31, 32, 33, 36abs3lemd 12226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x
)
3837ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
3938ralimdv 2753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  y ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4039ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  y
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4140com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  CC )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
4225, 28, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  (
( ( F `  j )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) ) )
4323, 42mpdd 38 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  y ) )  < 
( x  /  2
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
4443reximdva 2786 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  y ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x ) )
4510, 44mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  ~~>  y )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )
4645ralrimiva 2757 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F 
~~>  y )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
4746ex 424 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  y  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
483, 47syl5bir 210 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( <. F ,  y >.  e. 
~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
4948exlimdv 1643 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. y <. F ,  y
>.  e.  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  x
) )
502, 49syl5 30 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F  e.  dom  ~~>  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) )
5150imp 419 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   <.cop 3785   class class class wbr 4180   dom cdm 4845   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953    < clt 9084    - cmin 9255    / cdiv 9641   2c2 10013   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576   abscabs 12002    ~~> cli 12241
This theorem is referenced by:  climbdd  12428  caucvgb  12436  cvgcmp  12558  cvgcmpce  12560  mbflimlem  19520  mtest  20281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245
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